15. Дельта-функция Дирака.

Предыдущие собственные функции оператора х нормированы таким образом, что интегральная вероятность была равна единице. Часто математически удобно использовать собственные функции, нормированные так, чтобы выполнялось условие

Поэтому для функции, определенной выражением (10.1), мы требуем, чтобы

Для функций типа гауссовских

мы требуем, чтобы

В более общем случае мы рассматриваем любую функцию с острым пиком которая поддается оценке только в области шириной с центром при и которая обладает тем свойством, что

В пределе при такая функция стремится к величине, которую Дирак назвал дельта-функцией и обозначил ее через Единственные два важных свойства -функции следующие: 1) она равна нулю везде, кроме одной точки, и 2) в этой точке она равна бесконечности, но стремится к бесконечности так, что ее интеграл равен единице.

Строго говоря, -функцию нельзя определить в обычном математическом смысле, потому что она должна равняться бесконечности в точке Когда мы говорим о -функции, то всегда имеем

в виду функцию которой можно придать форму такого острого пика, какой необходим, сделав достаточно малым. Положение упрощается, если пользоваться -функцией так, как если бы она являлась правильной математической функцией обычного типа, помня при этом об ее истинном значении как пределе функции при

Наиболее важное свойство -функции можно получить, рассмотрев интеграл

где — произвольная непрерывная функция. Если достаточно мало, то изменение в области, где подынтегральная функция значительна, можно сделать как угодно малым. Поэтому функцию можно заменить постоянным значением и вынести за знак интеграла

При ошибка такой замены становится сколь угодно малой. Итак, мы получаем

Задача 11. Показать, что при подходящем А можно рассматривать как -функцию. Вычислить требуемую величину А и объяснить, почему она отличается от величины, вычисленной в задаче 10.