46. Учет граничных условий в присутствии потенциала.

Для учета граничных условий в присутствии потенциала заметим сначала, что, согласно уравнениям (21.70) и (21.766), асимптотическое разложение для плоской волны имеет вид

Написав получаем

В присутствии потенциала, согласно уравнению (21.65), асимптотическая форма волновой функции имеет вид

Здесь удобно положить

Тогда получаем

Теперь удобнее всего определить коэффициенты построив волновой пакет. Ясно, что, раньше чем волновой пакет достигнет области, где заметен потенциал, форма его должна быть такая же, как у плоской волны, и что изменение его формы может произойти только после того, как волна действительно «столкнулась» с потенциалом. Это означает, что сходящаяся часть действительного волнового пакета должна быть тождественна сходящейся части пакета плоских волн. Чтобы удовлетворить этим граничным условиям, надо выбрать Для доказательства правильности этого выбора умножим на и проинтегрируем по малой области Тогда центр пакета будет находиться в той точке, где фаза волновой

функции экстремальна. Если выбрать то центр сходящегося пакета получается из уравнения

или

Таким образом, для больших отрицательных времен мы получаем сходящийся пакет. Так как мы имеем дело только с положительными значениями то при сходящийся пакет исчезает, после чего его заменяет расходящийся пакет. Центр расходящегося пакета, соответствующий 1-й волне, находится из условия

т. е. из условия

Следовательно, расходящийся пакет появляется с запаздыванием (или опережением) по времени на вызванным действием потенциала (см., например, п. 29 и гл. 11, п. 19).

Из всего сказанного мы заключаем, что падающий пакет идентичен с падающей частью пакета плоских волн, а расходящийся пакет изменяется под действием потенциала.