52. Возмущение волновых функций стационарного состояния.

Мы видели, что если возмущение включается очень медленно, то в результате возникнет возмущенное стационарное состояние. Хотя

метод, которым мы пользовались при определении волновой функции с помощью теории возмущений, зависящей от времени, и является совершенно точным, но он несколько громоздок. В этом пункте будет изложен другой метод решения той же задачи, путем непосредственного определения не зависящих от времени собственных функций гамильтониана с помощью теории возмущений. Этот метод по сравнению с методом, зависящим от времени, более систематически излагает теорию возмущений для стационарных состояний, но физический смысл результатов здесь менее очевиден.

Прежде всего запишем уравнение Шрбдингера для собственной функции:

Полная волновая функция, зависящая от времени, равна

Так же как в методе вариации постоянных, выразим функцию в виде ряда по собственным функциям невозмущенного гамильтониана. Так как функция является здесь собственной функцией стационарного состояния, то коэффициенты при будут все постоянные:

Подстановка (18.1136) в написанное выше уравнение дает

Используя соотношение получаем

Умножим теперь это уравнение на и проинтегрируем по всем х. В силу ортонормировки находим

где

Это уравнение аналогично уравнению (18.6), с тем исключением, что здесь постоянные коэффициенты. В общем случае мы имеем бесконечное число линейных уравнений с бесконечным числом независимых переменных. Их надо решить относительно и допустимых значений энергии Мы будем решать их здесь в

предположении, что X мало, т. е. ни волновые функции, ни уровни энергии не отличаются сильно от того значения, которое они имели бы, если бы При собственные функции были бы точно равны а собственные значения энергии были бы равны Следовательно, мы имели бы

Предположим теперь, что изменения могут быть выражены в виде ряда по степеням малого параметра X:

Мы видим, что все кроме являются величинами первого порядка относительно

Подставляя эти выражения в уравнение (18.114) и объединяя коэффициенты с одинаковыми степенями X, получим

Коэффициенты при каждой степени X должны по отдельности равняться нулю. Что коэффициент при равен нулю, ясно, так как величина равна нулю, за исключением случая, когда а тогда Это просто выражает собой тот факт, что являются решениями уравнения, когда Коэффициенты при X дают следующие соотношения. Первое приближение:

Волновая функция первого приближения равна тогда

(временная зависимость дается уравнением Это в точности то же самое выражение, которое было получено в предположении, что возмущающий потенциал включается медленно

(см. уравнение Энергия в первом приближении равна

Опять это точно то же. самое, что мы получали в методе теории возмущения, зависящего от времени (см. уравнение (18.112а)).

Заметим, что уравнения первого приближения не определяют коэффициента С, так как соотношение, получаемое в предположении, что (уравнение (18.118)), дает нам не С, а Это означает, что, пока речь идет о первом приближении, С может быть произвольной величиной. Можно легко показать, что появление эквивалентно умножению невозмущенной волновой функции на постоянную. Действительно, в каждом из последовательных приближений определяется так, чтобы полная волновая функция была нормирована. Это дает

члены с

Таким образом, мы получаем поэтому с точностью до членов первого порядка по должно быть чисто мнимой величиной, которую можно поэтому обозначить через Тогда

Но мы можем также записать члены порядка подставляя в выражение (18.1136), получаем

Это означает, что выбор эквивалентен (с точностью до членов первого порядка по X) умножению невозмущенной волновой функции на произвольный фазовый множитель. Ясно, что такая процедура не может привести ни к каким наблюдаемым физическим изменениям.

Второе приближение. Если то равенство нулю коэффициента при дает следующее выражение:

Используя уравнения (18.117) и (18.118) и 0, получаем

Если то из уравнения (18.116) получаем

(Мы используем связь которая следует из эрмитовости оператора

Как и в первом приближении уравнения второго приближения не определяют коэффициента С. Как и выше, определим его из требования нормировки волновой функции (на этот раз с точностью до членов второго порядка по X). Это означает, что

Используя свойства нормировки и ортогональности функций и ограничиваясь только членами порядка получаем

или

Один из возможных выборов имеет вид

Можно добавить к произвольную мнимую постоянную, но это просто соответствовало бы смещению по фазе невозмущенной волновой функции, что не имеет существенного физического значения. Поэтому мы ограничимся написанным выше выражением (18.122в) для

Можно последовательно переходить к более высоким порядкам приближений, вычисляя коэффициенты при более высоких степенях X в уравнении (18.116).