28. Полностью симметричные волновые функции.

Как указывалось в п. 22, все элементарные частицы, у которых волновые функции

не полностью антисимметричны, должны описываться полностью симметричными волновыми функциями. Такая волновая функция выражается

Задача 7. Доказать, что эта волновая функция полностью симметрична.

Задача 8, Доказать, что любая полностью симметричная волновая функция ортогональна любой полностью антисимметричной волновой функции.

Задача 9, Доказать, что матричный элемент симметричного гамильтониана между симметричной и антисимметричной волновыми функциями равен нулю.

Если есть только две частицы, то наиболее общая возможная волновая функция должна быть некой линейной комбинацией симметричных и антисимметричных функций. Однако когда частиц больше чем две, то имеются функции промежуточной симметрии, которые также снимают вырождение. Такие функции не являются ни полностью симметричными, ни полностью антисимметричными. Они симметричны относительно некоторых обменов и антисимметричны относительно других. Однако такие функции в действительности не существуют, так как они не удовлетворяют принципу запрета (см., например, задачу 10).

Задача 10. Рассмотрим систему, состоящую из трех одинаковых частиц с невозмущенными волновыми функциями и с энергией возмущения в гамильтониане в виде 2) где расстояние между частицами 1 и 2. Решить задачу о снятии вырождения и показать, что получаются три энергетических уровня: первый соответствует полностью симметричной волновой функции, второй — полностью антисимметричной и третий — ряду волновых функций промежуточной симметрии.