10. Точное решение задачи рассеяния.

Распространить теорию рассеяния на большие углы можно, если получить точное решение для движения рассеиваемой частицы. Воспользуемся для этого следующими двумя уравнениями:

(Заметим также, что для потенциала принято условие при Подстановка уравнения (21.14а) в (21.146) дает

Разделим уравнение (21.14а) почленно на это равенство, тогда

Теперь можно получить решение для отклонения 9, интегрируя последнее выражение от до (а — минимальное расстояние сближения) и опять до Из рис. 98 видно, что если начать интегрирование с то получим

Но так как подынтегральная величина пробегает тот же самый ряд значений на первом и втором интервалах интегрирования, то можно просто удвоить результат интегрирования по от а до :

Подставляя в это уравнение конкретное значение потенциала получаем возможность в принципе вычислить функцию затем наконец, (6).

Пример. Кулоновское рассеяние. Резерфордовская формула поперечного сечения.

Примем для потенциала тогда

Здесь удобно воспользоваться подстановкой которая дает

Минимальное расстояние сближения можно определить из условия Вместе с тем это расстояние таково, что для него знаменатель подынтегральной

величины точно равен нулю. После вычисления написанного выше интеграла получаем

и

Дифференциальное поперечное сечение рассеяния равно

Легко проверить, что для малых 0 получаем, в согласии с приближенным уравнением (21.96),

Поперечное сечение рассеяния, рассчитанное на единицу телесного угла, равно

Это и есть хорошо известная формула рассеяния, полученная впервые Резерфордом.