19. Волновой пакет внутри потенциальной ямы (вблизи резонанса).

Для более яркой иллюстрации того факта, что частица задерживается внутри потенциальной ямы в течение долгого времени, вычислим волновой пакет внутри области Для этого нужно проинтегрировать функцию определяемую уравнением (12.57),

по малому интервалу энергий вблизи резонансной точки Это дает

Для демонстрации существования времени запаздывания нужно выбрать достаточно узкий волновой пакет, чтобы он проходил через данную точку за время, меньшее чем искомый промежуток запаздывания. В противном случае время запаздывания нельзя было бы отличить от возможных флуктуаций по времени, обусловленных шириной пакета. Согласно соотношению неопределенностей, времени прохождения заданной точки пространства с точностью соответствует область энергий Следовательно, надо предполагать, что велико только внутри этой области.

Мы получаем из уравнения (12.57), пренебрегая членами, содержащими , которые предполагаются малыми. Заметим также, что при резонансе и Вблизи резонанса разложим эти величины, сохраняя только члены первого порядка. Таким образом,

где то Получив А из уравнения (12.68), мы приходим к выражению

Так как 0 велико, то становится малой величиной для значений которые все еще настолько малы, что разложение законно. Следовательно, главная доля в будет получаться от сравнительно малых значений Поэтому можно заменить на его значение при резонансе так как существенно не изменяется в той области, в которой знаменатель мал. Итак,

и

где мы положили

Величина была выбрана так, чтобы она была велика в области, гораздо большей чем Следовательно, обратная величина знаменателя становится малой при значительно меньших значениях чем числитель. Поэтому в первом приближении можно рассматривать как постоянную, которую для удобства примем равной единице. Тогда оставшуюся подынтегральную функцию легко проинтегрировать стандартными методами. В результате получаем или стр. 166 перевода, задача 15)

Следовательно, имеем

Прерывное изменение волновой функции при обусловлено принятым нами приближением, что постоянная величина. Это эквивалентно предположению о бесконечно узком пакете. Как раз тогда, когда пакет сталкивается с барьером при волновая функция внутри ямы при этом внезапно возрастает от нуля до некоторой определенной величины. Если принять во внимание ширину пакета и не пользоваться разложением по степеням то время возрастания амплитуды волновой функции внутри ямы должно несколько отличаться от нуля.

Однако наиболее интересным в полученном результате является то, что волновая функция после момента времени будет равна волновой функции истинного стационарного состояния, за исключением множителя, дающего экспоненциальный спад со временем.