10. Эффекты квантования.

Принимая во внимание все эти замечания, де Бройль смог объяснить явление квантования электронных орбит в атомах. Для этого необходимо предположить, что допустимые орбиты, например в атоме водорода, соответствуют волне, распространяющейся по кругу около ядра атома. Стационарная волна, представляющая электрон в стационарном состоянии, может быть получена, только если волна непрерывно повторяет себя после каждого полного обращения вокруг ядра. Для этого нужно, чтобы на окружности укладывалось целое число волн или откуда можно заключить, что в соответствии с основным условием Бора (гл. 2, п. 14).

Задача 2. Найти разрешенные энергетические уровни для электронных волн в потенциальном ящике длиной (На всех стенках волновая функция должна равняться нулю Сравнить полученный результат с результатом, полученным из условий Бора — Зоммерфельда (гл. 2, задача 11).

Можно показать в самом общем виде, что соотношения де Бройля всегда приводят к условиям Бора — Зоммерфельда. Для этого рассмотрим произвольное периодическое движение, которое требуется проквантовать. (Ради простоты исследуем одномерный случай.) В общем случае существуют некоторые пределы колебаний, которые мы обозначим через Движение классической частицы заключено в этих пределах. Если частица должна быть описана в терминах волн де Бройля, то устойчивое состояние может получиться только из условия такого соотношения фаз отраженной от границы волны и падающей волны, что при их наложении образуется стоячая волна. Точность выполнения этого условия зависит от природы границ, но в общем случае удается определить дискретный ряд допустимых частот, а следовательно и энергий. Если внутри области существует много длин волн (что всегда имеет место в классическом пределе), то грубо можно считать, что укладывается целое число волн, бегущих от к а и назад, с относительной ошибкой порядка где целое число длин волн. Но целое

число волн как раз равно

Полагая, что это выражение равно целому числу, мы приходим точно к условиям Бора — Зоммерфельда. Возможность дробного числа волн соответствует тому, что точное значение квантового числа в теории Бора — Зоммерфельда несколько неопределенно. Однако, как мы увидим позже, волновая теория приводит к точному значению этого числа и, следовательно, лишена этой двусмысленности.