3. Примеры адиабатических возмущений.

а) Опыт Штерна — Герлаха. Отклонение атомов в неоднородном магнитном поле. В гл. 14, п. 16 был рассмотрен опыт Штерна — Герлаха, в котором пучок атомов проходит через неоднородное магнитное поле и испытывает действие отклоняющей силы. При этом мы пренебрегали той возможностью, что магнитное поле может вызвать переходы, в которых изменяется момент количества движения. Однако следует помнить, что в местах, где атом попадает в магнитное поле или покидает его, последнее изменяется и по величине, и по направлению, как это показано на рис. 90.

Рис. 90.

Когда атом проходит через край магнита, то он попадает под действие поля, изменяющегося со временем, которое может вызвать переходы с изменением величины составляющей момента количества движения (это мы видели в гл. 18, п.п. 7 и 12, где говорилось о методе вариации постоянных). Если эти процессы начинают играть существенную роль, то обычные выводы, которые делаются из опыта Штерна — Герлаха, становятся неправильными.

Определим те условия, которые должны выполняться, чтобы не происходило заметного числа таких переходов. Это, очевидно, как раз и будут условия адиабатической инвариантности. Другими словами, время, которое атом проводит в области изменения поля,

должно быть большим по сравнению с периодом в течение которого может совершиться процесс перехода. Если частица входит в магнитное поле достаточно медленно, то она будет обладать одной и той же величиной как внутри магнита, создающего поле, так и вне его. Более того, она также и покинет область поля без изменения величины если и магнитное поле убывает достаточно медленно.

Количественное решение этой задачи начнем с рассмотрения добавочного возмущающего члена, действующего на атом в магнитном поле (см. уравнение (15.52)):

где масса электрона, напряженность магнитного поля, момент количества движения. (Формула справедлива, если мало относительное изменение напряженности магнитного поля в объеме атома).

Предположим, что атом движется в направлении оси х, а поле имеет линию симметрии На этой линии симметрии направлено вдоль оси Далее предположим, что движение атома в целом может быть описано классически. Это допустимо, поскольку атом настолько тяжел, что квантовые эффекты, вытекающие из соотношения неопределенностей, создают: ничтожное изменение скорости (гл. 19. п. 13). Поэтому мы полагаем, что атом движется по траектории, в основном совпадающей с направлением оси х, и что Конечно, частица испытывает действие малой отклоняющей силы в направлении оси но это не создает заметного изменения координаты пока частица не выйдет далеко за пределы поля, поэтому таким изменением можно пренебречь.

Напряженность магнитного поля является функцией координат, а так как координаты атома меняются со временем, функция времени:

Мы должны теперь исследовать, может ли изменяющийся потенциал обусловить переходы, при которых изменяется значение т. е. будет ли переориентация момента количества движения происходить скачком. Начнем со случая частицы, которая движется вдоль линии симметрии. Для такой частицы поле остается всегда направленным вдоль оси тогда

Для оператора волновые функции являются его собственными функциями, следовательно, матричные элементы, соответствующие изменению равны нулю. Заметим, что производная точно равна численному значению градиента поля в центре атома, поэтому вдоль центральной линии симметрии не будет происходить никаких переходов.

Однако если частица будет иметь какое-то другое значение то поле не будет направлено точно вдоль оси когда частица войдет в пространство между полюсами магнита. Для получения оценки, например, х-составляющей поля как функции можно разложить в ряд по степеням

где согласно принятому приближению. Так как в вакууме то и тогда

Возмущающий член гамильтониана в этом случае принимает вид

Мы видели, что не вызывает переходов к другим значениям Однако такие переходы вызывает член с как можно видеть, например, из гл. 14, п. 10, где Поэтому матричные элементы для состояний с различными значениями не равны нулю, а имеют величину порядка В классической физике это соответствует тому, что -составляющая не влияет на момент вращения от -составляющей магнитного момента, но -составляющая поля определенно влияет на составляющую момента в направлении оси

Чтобы применить критерий адиабатического движения, надо вычислить

(Интегрирование проводится по координатам электрона в атоме в предположении, что является приближенно постоянной величиной во всем пространстве, где волновая функция электрона велика, т. е. по объему атома.) Как мы видели, величина этого интеграла Оказывается порядка . Из уравнений (20.16) имеем также

Поэтому наш матричный элемент будет порядка

Для проверки критерия применимости адиабатического приближения надо оценить выражение, входящее в условие (20.15):

где ларморовская частота

Тогда условие (20.15) принимает вид

Если расстояние, на котором магнитное поле возрастает от нуля до полного значения то приближенно можно написать

Окончательно критерий адиабатической инвариантности может быть записан в такой форме:

Смысл написанного неравенства следующий. Величина есть отношение расстояния, проходимого частицей за период ларморовской прецессии, к расстоянию на котором поле претерпевает основную часть своего изменения. Величина отношение среднего расстояния частиц в пучке от линии симметрии к Отношение обычно не очень мало, так как расстояние порядка межполюсного расстояния, а линейный размер сечения пучка обычно составляет изрядную долю этого расстояния Поэтому для справедливости адиабатического приближения практически необходимо, чтобы отношение было малым.

Для магнитных моментов, вызванных электронами в атоме, имеем

где измеряется в эрстедах. Порядок величины тепловых скоростей — см/сек, а следовательно,

Поэтому отношение легко сделать малым даже при очень слабых полях.

Однако при изучении ядерных магнитных моментов ларморовская частота определяется величиной порядка массы протона. В этом случае отношение будет порядка очевидно, нужно иметь значительно большие магнитные поля, чтобы сделать это отношение малым.

Связь с кривизной магнитного поля. Если частица движется через магнитное поле, меняющее направление от точки к точке, и если выполняется условие адиабатичности (т. е. направление поля не искривляется слишком быстро), то составляющая оператора в направлении поля остается постоянной, несмотря на изменение направления поля.

Резонансные скачки момента количества движения в радиочастотных полях. Если условие адиабатичности не выполняется, то получаются переходы между различными составляющими оператора . В некоторых опытах пытались получить такие переходы, используя быстроколеблющееся магнитное поле (радиочастоты) [53]. Однако мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе.

б) Столкновения молекул газа. Если два атома газа при столкновении приближаются друг к другу, то возникает важный вопрос: могут ли силы, возникающие при их взаимодействии, вызвать переходы между разными электронными состояниями атомов? Другими словами, может ли кинетическая энергия молекулы превратиться в энергию электронного возбуждения и, наоборот, могут ли возбужденные электроны совершать переходы в основное состояние, превращая свою энергию в кинетическую энергию молекул? Скорости молекул обычно довольно малы (около см/сек), а скорости электронов в атомах намного больше (примерно см/сек). Поэтому в течение периода оборота электрона в атоме молекула не может далеко продвинуться, и следовательно, энергия взаимодействия при этом изменяется незначительно. Это означает, что столкновение можно обычно рассматривать как адиабатический процесс, в котором электрон остается в своем первоначальном квантовом состоянии. В результате столкновение будет упругим в том смысле, что после того, как оно полностью закончено, электрон не приобретет энергию, но и не потеряет ее на изменение движения молекул. (Этим свойством мы уже пользовались, например, при исследовании природы ван-дер-ваальсовских сил (гл. 19, п. 13), где пренебрегалось влиянием движения молекул.)

Однако существует много случаев, когда это условие адиабатичности не выполняется. Вспомним, что законность адиабатического

приближения требует не только малости но также и того, чтобы разность не была слишком малой. Если атомы находятся далеко друг от друга, то энергии их электронных состояний обычно довольно широко разделены. Но если атомы приблизить друг к другу, то энергии электронных состояний будут изменяться, поскольку каждый электрон уже находится в суммарном поле сил обоих атомов. Может случиться, что это изменение будет происходить в направлении сближения энергий уровней электронов, и на некотором расстоянии кривые энергий пересекутся, как это показано на рис. 91. Если частицы сближаются вплоть до такого расстояния пересечения уровней, то возникает большая вероятность обмена квантовыми состояниями. Тогда после удаления атомов друг от друга они могут оказаться в другом квантовом состоянии. Например, предположим, что один из атомов первоначально был в возбужденном состоянии. Если он сталкивается с другим атомом и если атомы сближаются на расстояние, соответствующее пересечению уровней, то может произойти переход в основное состояние. Затем, когда атомы удалятся друг от друга, электрон может остаться в основном состоянии и энергия электрона должна перейти в кинетическую энергию молекул. Этот процесс известен как «столкновение второго рода» (подробнее см. [48]; [13], стр. 386—403; [28], стр. 243—250; [54], [55]).

Рис. 91.

в) Передача энергии от быстрых заряженных частиц к атомам. Когда тяжелая заряженная частица типа протона или -частицы пролетает около атома, то сила, возникающая между ней и электронами, может вызвать переход энергии от частицы к электронам и тем самым обусловить возбуждение, или ионизацию, атома. Возникающая потеря энергии замедляет быструю частицу. Очевидно, что после достаточного числа таких переходов быстрая частица придет в состояние покоя. Вероятность таких переходов энергии будет определять средний пробег быстрой частицы в рассматриваемом веществе.

Ясно, что передача энергии в каждом отдельном акте столкновения будет зависеть от того, насколько близко заряженная частица подходит к атому. Мы хотим получить более точное представление о зависимости переходящей энергии от величины минимального расстояния между быстрой частицей и атомом. Схема поставленной задачи показана на рис. 92.

Остановимся прежде всего на классическом способе описания этого процесса. Сила между заряженной частицей и электроном атома равна где вектор, величина которого равна расстоянию

между электроном и частицей. Эта сила будет большой, только когда заряженная частица находится на расстоянии порядка вблизи точки максимального сближения; после этого она очень быстро уменьшается с ростом расстояния. Следовательно, если скорость частицы, то время, в течение которого может передаваться энергия, будет порядка Если это время очень мало по сравнению с периодом оборота электрона по своей орбите то столкновение закончится прежде, чем атомный электрон может слишком удалиться. Такое столкновение называется «ударным», и оно обычно приводит к заметной передаче энергии электрону. С другой стороны, если расстояние настолько велико, что то электрон совершит много оборотов в течение столкновения. В пределе, при очень продолжительном времени столкновения, орбита электрона адиабатически приспособится к изменению потенциала, возникающему от присутствия тяжелой заряженной частицы. Другими словами, электрон будет двигаться примерно по той же орбите, по которой он бы двигался, если бы тяжелая заряженная частица была закреплена в своем мгновенном положении. Так как тяжелая частица движется, то орбита электрона изменяется медленно и обратимо (т. е. адиабатически), т. е. после столкновения электрон остается на той же орбите, что и перед столкновением. В результате при адиабатическом столкновении не происходит передачи энергии. Так как столкновение становится адиабатическим, когда то, следовательно, столкновения, при которых не передают заметных энергий. Этот результат очень важен для вычисления проникающей способности заряженных частиц, проходящих через вещество. Бор детально разработал теорию этой проблемы [56].

Рис. 92.

Изменение передачи энергии в зависимости от скорости падающей частицы можно также понять следующим образом: на заданном расстоянии максимального сближения столкновение будет ударным, если частица движется достаточно быстро. Однако чем быстрее частица, тем меньше время передачи импульса. Следовательно, потеря энергии возрастает при замедлении частицы, пока частица не становится столь медленной, что можно применять адиабатическое приближение, и тогда передача энергии начинает уменьшаться. В результате существует некоторая скорость (порядка скоростей электронов в атомах), при которой передача энергии максимальна.

В квантовой теории это явление объясняется примерно таким же образом, с тем лишь исключением, что нужно сравнивать

отношение с величиной где атомные энергетические уровни. Но так как обычно того же порядка величины, что и классически вычисленные атомные периоды, то классические и квантовомеханические адиабатические условия по существу одинаковы.