7. Применение к задаче о расплывании волнового пакета для свободной частицы.

Вычислим для расплывающегося с течением времени волнового пакета, определенного уравнениями (3.14) и (3.22). (Допускаем как частный случай, что Так как

первоначально волновая функция была вещественная, то исчезает при следовательно, в это время нет простых корреляций между импульсом и координатой. Рассмотрим теперь, что происходит при Для этого запишем волновую функцию в виде

где а — нормирующий множитель, определяемый из соотношения

а

Далее, так как

Итак, мы получаем

Интегрируя по частям член

замечаем, что равна нулю внеинтегральная часть. Используя соотношение

получаем

или

где начальная неопределенность импульса.

Ясно, что хотя корреляции при отсутствуют, они возникают с течением времени. Физический смысл этого явления заключается просто в том, что более быстрые частицы продвигаются дальше, так что больший импульс стремится коррелировать с прохождением большего расстояния.

Другой способ выяснения источника корреляций заключается в учете того факта, что оператор импульса, действуя на волновую функцию дает

Множитель который грубо выражает импульс порядка показывает, что электрон обычно имеет большой импульс при большом

Полученные выше результаты ясно показывают, что волновая функция — далеко не только волна вероятности. Плотность вероятности просто равна

Хотя члены с В не входят в выражение для они оказывают влияние на корреляцию между импульсом и координатой. Таким образом, фаза волновой функции (в данном случае дает очень много различных сведений, многие из которых выражают довольно тонкие соотношения между значениями различных величин (см. гл. 6, пп. 6 и 8).