19. Борновское приближение. Теория возмущений.

Если рассеивающий потенциал невелик, то рассматриваемую задачу можно решить с помощью теории возмущений, положив, что в некоторый начальный момент времени в то время как все другие коэффициенты в этот момент равны нулю. С точностью до членов первого порядка малости можно тогда определить подставляя в правую часть уравнения (21.26). Это дает

Принятое приближение эквивалентно предположению, что падающая волна не искажается существенно рассеивающим потенциалом. Такое

предположение, которое по существу заключается в допущении применимости теории возмущения для случая задачи рассеяния, называется борновским приближением.

Для определения вероятности рассеяния проинтегрируем уравнение (21.27). Полагая при получаем

Эти выражения определяют вероятность перехода из начального состояния с импульсом в конечное состояние с импульсом в момент Величина равна вероятности того, что осуществилось соответствующее отклонение.

Сделаем ряд замечаний в связи с полученным уравнением. Следует прежде всего сказать, что принятые граничные условия слишком абстрактны, ибо им соответствует выбор плоской волны бесконечной протяженности. Это означает, что при падающая плоская волна занимает все пространство, включая и само рассеивающее тело. В действительности необходимо иметь дело с волновым пакетом, который первоначально не соприкасается с рассеивающим телом. Однако в мы увидим, что использование таких неправильных граничных условий приводит тем не менее к несущественным ошибкам в расчетах.

Кроме того, существенно заметить, что при заданном значении импульса вероятность рассеяния Для малых времен пропорциональна Этот результат очень напоминает результат, с которым мы встречались уже в теории излучения (см. гл. 2, п. 16 и гл. 18, п. 18). Пути решения этих двух задач также очень близки. Фактически надо интегрировать по области энергий падающей частицы, и это интегрирование дает вероятность перехода, которая пропорциональна времени. Однако в этом случае тот же результат можно получить иным путем, который более нагляден, а именно вводя определенный начальный импульс и суммируя по области конечных энергий

При рассмотрении области конечных энергий надо воспользоваться тем, что основная область очень велика. Тогда соседние значения настолько близки друг к другу, что ни одна из величин, входящих в сумму, существенно не изменяется при переходе к соседнему значению. Поэтому сумму можно заменить интегралом. При этом заметим, что при суммировании по небольшому интервалу состояний мы имеем дело со следующим числом состояний:

где плотность состояний в пространстве импульсов. Тогда полная вероятность того, что частица совершит переход в интервал равна

где величина может быть взята из выражения (21.286).

Плотность состояния в k-пространстве дается уравнением (1.26) и равна

Заменяя получаем

и

Теперь удобно перейти к полярным координатам пространстве импульсов, тогда выражение (21.29а) принимает вид

Это выражение определяет вероятность того, что частица совершает переход в состояние с импульсом направление которого лежит внутри телесного угла Однако импульс удобно заменить энергией, используя соотношения

Тогда получаем

где

скорость частицы.

Подставляя из уравнения (21.286) в (21.29в), имеем

Мы видим, что последнее выражение содержит множитель

Как показано в гл. этот множитель при больших имеет -образный вид, как функция Это означает, что хотя всегда существует некоторая вероятность перехода в состояния с энергией но для больших времен с подавляющей вероятностью будут осуществляться переходы на уровни, где энергия сохраняется с точностью с которой эту энергию вообще можно определить. Следовательно, большинство переходов будет происходить в очень малом интервале энергий вблизи значения Этот интервал с течением времени становится все более узким (в предположении, конечно, что столкновения упругие).

Так как плавно меняющиеся функции, то они остаются практически постоянными внутри узкой области, где подынтегральное выражение велико, поэтому их можно вынести за знак интеграла для значения энергии Тогда вероятность рассеяния в интервале телесного угла будет равна

В согласии с законом сохранения энергии, как это отмечалось в предыдущем пункте, надо вычислить при или при Направление вектора может, конечно, отличаться от направления

Так как подынтегральное выражение будет, как правило, ничтожно мало для отрицательных значений то мы можем, как это делалось в гл. 2, п. 16, упростить результат, распространив пределы интегрирования на весь интервал от до Тогда, сделав подстановку получаем

Этот результат имеет весьма широкое применение. В любой задаче, в которой осуществляются переходы в непрерывную область конечных состояний с плотностью получается следующий результат:

где матричный элемент между двумя состояниями, определяемый соотношением где нормированные волновые функции соответственно начального и конечного

состояний. Из уравнения (21.25) мы видим, что в нашем случае

Подставляя вместо его значение из выражения , находим для вероятности перехода в единицу времени

20. Вычисление поперечного сечения.

При вычислении поперечного сечения заметим, что последнее также может быть выражено через вероятность рассеяния в единицу времени. Согласно вероятность рассеяния в элементе телесного угла на расстоянии равна

где плотность рассеивающего вещества.

Заменяя получаем (полагая, что малый интервал времени)

Здесь мы рассматривали задачу, когда в объеме основной области находится одна частица. Следовательно,

Сравнивая это выражение с уравнением (21.31), находим

Последнее выражение не зависит от размеров основной области, что, конечно, вполне разумно.

Если обладает сферической симметрией, то можно показать, что является функцией только и не зависит от направления вектора

Задача 4. Доказать это утверждение.

Величины можно выразить через угол рассеяния, используя уравнение (21.22):

Заметим, что поперечное сечение определяется через коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Это служит конкретной иллюстрацией того факта, что при квантовом описании процесса рассеяния весь потенциал действует как целое, а не только та его часть,

которая охватывает частицу, если бы последняя двигалась по траектории. Это объясняется тем, что частица фактически описывается волновым пакетом, а не классической частицей с определенной траекторией. В квантовой области мы имеем дело с волновым пакетом, покрывающим весь рассеивающий атом. В противном случае (т. е. если размеры пакета будут меньше), согласно п. 16, неопределенность импульса, обусловленная более точным определением «орбиты», нарушит всю картину рассеяния. Только в том случае, когда выполняется критерий (21.216), можно пользоваться в задаче рассеяния представлением о классической орбите.