ГЛАВА 12. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВКБ

1. Введение.

В предыдущей главе изучались системы, у которых потенциал как функция координаты изменялся скачком. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда потенциальная энергия изменяется очень медленно как функция координаты. Разрывность в потенциале соответствует разрывности показателя преломления, и, как мы видели, волны электронов отражаются этими разрывами подобно световым волнам. Так как медленное изменение потенциала аналогично медленному изменению показателя преломления, то можно ожидать, что поведение электронов в этом случае следует изучать по аналогии с задачами волновой оптики.

В среде, показатель преломления которой изменяется непрерывно, свет не отражается, хотя его путь может быть искривлен в результате преломления (качественно эта задача обсуждалась в гл. 3, п. 9). Какова критическая скорость изменения показателя преломления с изменением координаты, при которой отражается световая волна? Мы увидим, что большей частью отражение происходит только когда длина волны изменяется на большую часть своей величины на расстояниях порядка своей длины. Изменение длины волны происходящее на расстоянии равно

Полагая мы найдем, что условием для несущественных отражений волн будет

Точно те же рассуждения приложимы и к волнам электронов. Если воспользоваться соотношением де Бройля то условием для отсутствия отражения будет

Подставляя получим

Следовательно, для отсутствия отраженной волны необходимо, чтобы потенциальная энергия была медленно изменяющейся функцией координаты и чтобы не было слишком мало.

В трехмерной задаче волна будет преломляться, даже если она не отражается. Поэтому волновой пакет будет перемещаться по криволинейной траектории, а не по прямой. Эта искривленная траектория должна в точности совпадать с путем, который предсказывается классической теорией для частицы в силовом поле, поскольку (как мы показали в гл. 9) уравнение Шрёдингера для волновой функции в классических пределах приводит к уравнениям движения Ньютона. Таким образом, когда изменение потенциальной энергии в пределах длины волны де Бройля мало по сравнению с кинетической энергией, специфически не проявляются квантовомеханические черты, обусловленные волновыми свойствами материи, и вполне достаточно классического описания.

Из уравнения (12.3) видно, что классическая теория применима, когда мало по сравнению с Широкая область применимости классической физики поэтому фактически связана с тем, что в сравнении с обычными масштабами постоянная очень малая величина. Мы можем вообразить себе мир, в котором значительно больше; в таком мире квантовомеханические эффекты проявлялись бы и в макроскопических масштабах.

2. Приближение ВКБ.

Когда уравнение (12.3) удовлетворяется, т. е. классический предел достигнут, можно воспользоваться так называемым приближением ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна). В этом приближении используется медленное изменение длины волны в предположении, что волновая функция мало отличается от той формы, которую она имела бы для постоянного V, а именно

где . Это наводит на мысль, что волновую функцию удобнее записать в виде

где функция от х. В общем случае, 5 может быть и комплексной функцией. Если V почти постоянно, то можно ожидать, что приближенно равна но для получения более точной величины

нужно решить уравнение Шрёдингера. Для этого при произвольном потенциале V представим 5 в виде ряда по степеням :

Первые несколько членов этого ряда будут давать хорошее приближение только при условии, что отношения все очень малы. Так как мы уже знаем, что при постоянном потенциале функция равны все нулю, то можно ожидать удовлетворения этого требования, когда V, как функция х, изменяется очень медленно.

В известном смысле можно сказать, что это приближение требует, чтобы было малым. Если мы, например, вообразим себе ряд миров, где становится постепенно все меньше и меньше, то это разложение будет непрерывно становиться все точнее. Так как классическое описание тем точнее, чем меньше то ясно, что такое разложение хорошо сходится лишь в классическом пределе.

Для определения функции подставляем функцию (12.6) в уравнение Шрёдингера:

или

Подставим теперь разложение (12.7) для в уравнение (12.8) и соберем все члены с соответствующими степенями . В результате получается (с точностью до членов второго порядка относительно

Так как это уравнение должно удовлетворяться независимо от значения постоянной то необходимо равенство нулю коэффициентов при любой степени Это требование приводит к следующей системе уравнений:

и так далее.

Уравнения могут быть последовательно решены: первое уравнение определяет через , второе - через третье через и так далее. Решая их, мы получим

Положим здесь (случай будет рассмотрен в

аналогично получаем

Так как есть логарифм от производной то, в общем случае, эта величина немалая по сравнению с Поэтому и должны быть сохранены. С другой стороны, из уравнения (12.15) видно, что будет мало, когда мало и не слишком близко к нулю. Можно также показать, что члены более высокого порядка (53, 54 и т. д.) будут малы, если малы значения всех производных от Таким образом, приближение ВКБ будет точно, когда V — достаточно гладкая и медленно изменяющаяся функция.

Для получения более точного критерия применимости приближения ВКБ потребуем, чтобы абсолютная величина полного смещения фазы, получающаяся во втором приближении, а именно была мала по сравнению с единицей. Исследование интеграла в уравнении (12.15) показывает, что он является величиной того же порядка, что и внеинтегральный член слева от него. Наш критерий поэтому приобретает вид

Но это точно тот же результат, который дается выражением (12.4), означающим, что относительное изменение длины волны должно быть малым на расстоянии самой длины волны.

Подобный критерий может быть получен и при учете производных V более высокого порядка, но мы не будем здесь делать этого.

Решение в приближении ВКБ будет тогда иметь вид (если включить множитель в постоянные

где произвольные постоянные. Положительный показатель соответствует волне, движущейся в положительном направлении, а отрицательный — волне, движущейся в отрицательном направлении. Для частного случая, когда потенциал V постоянен, решение (12.17) сводится соответственно к плоским волнам

3. Приближение ВКБ как асимптотическое разложение.

Можно показать, что ряд (12.7) не сходится, а является асимптотическим разложением для Это означает, что если взять конечное число членов, то всегда можно найти такое малое значение при котором разность между конечной суммой и истинным значением 5 будет меньше сколь угодно малого произвольно выбранного числа. Все же, если мы возьмем большее число членов ряда, то разложение может начать удаляться от истинного значения Вообще лучше всего для такого разложения брать только один или два члена и применять его только в случаях, когда остающиеся члены малы.