31. Правила отбора для сферически симметричного потенциала без учета спина.

Изучим теперь правила отбора для одной частицы, движущейся в поле сферически симметричного потенциала, но пренебрежем эффектами спина. Собственные функции такой системы даются уравнением (15.1).

Начнем рассмотрение со случая световой волны, распространяющейся в направлении оси х и поляризованной вдоль оси Для этого случая надо вычислить матричный элемент

Так как то ясно, что интеграл по включает множитель Этот интеграл равен нулю для всех случаев, кроме

Рассмотрим теперь интегрирование по . Мы должны вычислить

Ограничимся сначала частным случаем Здесь мы имеем (см. уравнение (14.52б)). Из уравнения (14.526) получаем

Интеграл, который следует вычислить, принимает вид

Так как полиномы Лежандра ортогональны, то интеграл равен нулю для всех случаев, кроме

Тогда получаем

Интеграл по в общем случае не равен нулю для любого частного выбора или

Правила отбора. Таким образом, для случая свет, поляризованный в направлении оси может испускаться и поглощаться, только если

Это и есть правила отбора для этого случая.

Обобщение для случая произвольных Подобными методами можно было бы воспользоваться для обобщения этих результатов на случай произвольных чисел но легче использовать общий результат, который следует из уравнения (17.776), выражаю

щего произведение двух волновых функций моментов в виде суммы собственных функций моментов. В нашем случае пишем

Матричный элемент принимает вид

Теперь функция становится нечетной. Это означает, согласно что только состояния с различной четностью могут не равняться нулю в матричных элементах Следовательно, должно быть равно нулю, и потому еще раз получаем правила отбора

Обобщение на случай произвольных направлений распространения и поляризации. Можно также обобщить правила отбора на случай плоской волны, поляризованной в произвольном направлении, определяемом направляющими косинусами и Для этого надо воспользоваться уравнением (18.51). Мы видим, что матричный элемент равен

Легко видеть, что члены, содержащие после интегрирования счезают во всех случаях, кроме Это можно показать, повернув просто координатные оси таким образом, чтобы новая ось совпала со старой осью х. Тогда член превращается в Мы уже видели, что для этого случая матричные элементы равны нулю, кроме случая

Но значение I не изменяется при повороте, так как выражение как раз равно квадрату абсолютного значения момента, который является скаляром. Поэтому те же правила отбора для I должны действовать и в первоначальной координатной системе.

Добавочное правило отбора можно получить, если заметить, что

равны нулю, кроме случая Если волна имеет компоненты поляризации в направлении осей х или у, то может изменяться только на ±1.

Сводка правил отбора для дипольных переходов.

2) для волн, поляризованных в направлении оси

для волн, поляризованных в направлении оси x или у.

Если волны поляризованы в произвольном направлении, то или