12. Точное решение для атома водорода.

Решим теперь точно задачу для атома водорода. При этом удобно использовать следующие подстановки в уравнении (15.3):

где энергия связи. Тогда уравнение (15.3) примет вид

Мы уже видели, что для больших х решение приближенно равно (см. уравнение (15.13)). Это указывает на то, что решение удобно записать в виде

Подстановка этого значения в уравнение (15.176) дает

Наше граничное условие для заключается в следующем: при должно достаточно быстро стремиться к нулю, так, чтобы интегральная вероятность была конечной, или, другими словами, чтобы интеграл сходился.

Эту задачу можно решить многими способами. Например, метод факторизации дифференциального уравнения, применявшийся при решении задачи гармонического осциллятора (см. гл. 13), может быть применен также и здесь. Однако мы воспользуемся другим способом, чтобы проиллюстрировать более общий, но менее изящный метод, а именно разложение в степенной ряд. Поэтому будем искать решение в виде

Мы выбрали потому, что, как явствует уже из уравнения (15.16в), решение в общем случае начинается с х в некоторой степени; значение будет определено из волнового уравнения.

Подстановка вышеприведенного выражения в уравнение (15.18) дает

Собирая все члены с равными степенями х, получим

Для того чтобы это уравнение было справедливо при произвольных значениях х, коэффициент перед каждой степенью х должен быть

равен нулю. Это приводит к следующему выражению:

Так как по предположению то

Это уравнение надо рассматривать как определение наинизшей степени х, присутствующей в разложении. Решения его имеют вид

Этот результат находится в согласии с выражением (15.16б), которое получено при решении уравнения с помощью приближения, пригодного лишь для малых х. Поскольку в начале координат то решение с приводит к физически неприемлемой волновой функции. Поэтому единственное подходящее решение имеет вид

При любом выборе коэффициента можно определить подставив в уравнение (15.19в) можно получить из С, подстановкой и т. д. Следовательно, можно получить полное решение при условии, что ряд сходится.

Нетрудно доказать, что ряд сходится для всех значений Заметим для этого, что отношение последующих членов ряда равно

Для больших это отношение асимптотически приближается к Это то же самое отношение, что и для членов ряда В математическом анализе доказывается (см. [33], гл. 2), что два ряда, для которых предел отношения членов один и тот же и не равен единице, сходятся и расходятся вместе. Так как экспоненциальные ряды сходятся для всех значений х, то сходятся и ряды, выведенные нами для

Следующий вопрос заключается в том, как ведет себя решение при Для ответа на этот вопрос используем обобщение вышеприведенной теоремы, устанавливающей, что при два ряда, для которых отношение одно и то же и не равно единице, одинаково стремятся к бесконечности. Другими словами, при наша волновая функция ведет себя, как Итак, имеем

В связи с этим вышеприведенные ряды в общем случае приводят к неподходящей волновой функции. Однако существует исключение в том случае, если ряд обрывается и содержит конечное число членов потому что тогда равно где полином конечной степени от х. Ясно, что это квадратично интегрируемая функция. Условие обрыва заключается в том, что коэффициент исчезает для некоторого конечного значения которое должно быть равно по крайней мере единице, если решение само по себе не равно нулю. В соответствии с выражением (15.19в) (принимая это осуществляется при

Из определения (см. уравнения (15.17а)) получаем

Это энергетические уровни атома водорода. Отметим, что сюда должна входить приведенная масса

Так как ряд обрывается на члене, то ясно, что равно умноженному на полином в степени Следовательно, он может иметь самое большее вещественных нулей. Можно показать, что он должен всегда иметь вещественных нулей, но доказательство здесь не приводится. Из этого мы заключаем, что волновая функция имеет узлов (включая узел в начале координат, обусловленный множителем При сравнении этой волновой функции с общей формой, описанной в пп. 7 и 8, становится ясным, что это одна и та же функция. Итак, имеем

где полином степени Волновая функция вначале ведет себя, как проходит через узлов, за исключением узла в начале координат, и наконец затухает экспоненциально.

Из нашего определения главного квантового числа следует (см. п. 9) . Поэтому энергетические уровни атома водорода даются выражением

Это те же уровни, которые получил Бор в своей ранней квантовой теории (уравнение