17. Волновые пакеты как континуум собственных функций.

До сих пор при рассмотрении континуума собственных функций для прямоугольной потенциальной ямы использовались решения в виде волн, которые распространялись во всем пространстве. Такие решения в действительности являются абстракцией, никогда не реализуемой на практике, так как все реальные волны так или иначе ограничены. Волновой пакет дает более близкое представление о реальных экспериментах.

Например, начнем с падающего пакета, который находится далеко от потенциальной ямы. Этот пакет движется по направлению к яме, постепенно расплываясь. Когда он ударяется о яму, часть его отражается, а часть проникает в яму. Волна внутри ямы претерпевает многократное отражение, и некоторая часть ее выходит, образуя прошедшую волну, в то время другая часть возвращается

обратно. Отраженная волна, вышедшая из ямы, интерферирует с волной, отраженной прямо от ямы. Когда фазы противоположны, то отраженная волна гасится вследствие интерференции этих двух частей, и таким образом остается только прошедшая волна и наступает резонансная прозрачность, описанная в связи с уравнением (11.50). В общем случае, однако, присутствуют обе волны: и отраженная, и прошедшая. Если исходить из первоначального волнового пакета, то отраженная и прошедшая волны также приобретают форму пакетов. В таком случае прохождение волны сквозь потенциальный барьер может быть описано как функция времени. Через длительный промежуток времени в потенциальной яме не остается никаких частей волны.

Поучительно детально рассмотреть решение волнового уравнения, соответствующее граничным условиям первоначального волнового пакета при Начнем с решения в области (см. рис. 40).

Для зависящего от времени решения имеем

где в общем случае являются функциями и Для образования пакета необходимо проинтегрировать по с весовым множителем имеющим максимум вблизи величины, которую обозначим через Получаем

В общем случае совершенно гладкие функции определяемые уравнениями (11.47) и (11.48). Для удобства можно выбрать А такое, что Такой выбор дает

и после подстановки находим

Часто бывает удобно записать

где

Заметив, что выражено через получим

Подстановка этих величин в уравнение (11.69) для дает

Чтобы найти максимум будем искать точку, где фаза волны имеет экстремум при дифференцировании по Это обеспечивает то, что многие волны с различными будут складываться по фазе, образуя максимум (см. гл. 3, п. 2).

Для падающей волны фаза имеет экстремум, когда

или когда

При эта точка, как мы видим, отодвигается бесконечно влево. Но при эта точка должна была бы быть при Так как первоначальная волновая функция имеет смысл только для отрицательных х, то ясно, что после первоначальная волна совершенно исчезает, как это и происходит.

Рассмотрим теперь отраженную волну. Условием для экстремума фазы является

При мы видим, что Поэтому отраженный пакет появляется после того, как первоначальный волновой пакет ударился о яму. Значение члена, включающего будет рассмотрено в п. 19.