12. Случай б: гармоническое изменение матричных элементов со временем, задача поглощения и испускания света.

Есть много важных задач, в которых матричные элементы изменяются гармонически со временем. В качестве примера можно рассмотреть атом, помещенный в слабое электрическое поле, которое совершает колебания с некоторой угловой частотой . В этом случае, приняв, что поле направлено вдоль оси х, мы должны добавить к гамильтониану возмущающий член

Более важным примером является задача определения состояний атома, освещаемого светом с определенной угловой частотой Для электромагнитной волны требуется рассматривать только векторный

потенциал А (см. гл. Тогда гамильтониан может быть записан в таком виде (см. уравнение (15.47)):

V - потенциал, создаваемый всеми силами, действующими на атом, кроме сил, которые возникают от падающего электромагнитного излучения.

Так как мы ограничились случаем слабо возмущающего электромагнитного поля, то можно пренебречь членом, включающим который будет второго порядка малости. Тогда матричный элемент дается выражением

Для световой волны с определенной угловой частотой можно написать

Чтобы потенциал А оставался вещественной величиной, должен быть добавлен комплексно сопряженный член. Тогда получаем

Введем обозначение

Тогда комплексно сопряженная величина от получится, если взять комплексно сопряженные от всех частей интеграла (18.24):

Если совершить замену и заметить, что то с помощью интегрирования по частям можно легко показать (поскольку интегрируемая часть равна нулю), что

(Другими словами, может действовать на а не на ) В итоге приходим к следующему результату:

Теперь можно вычислить коэффициент с помощью уравнения (18.9а):

где