30. Другое применение борновского приближения: рассеяние от кристаллической решетки.

Интересно применить приближение Борна к расчету рассеяния от кристаллической решетки. В решетке атомы размещены в пространстве упорядоченно, что характеризуется заданием радиусов-векторов узлов решетки в таком виде:

где целые числа, а — три основных единичных вектора решетки. Если, например, эти три вектора равны по абсолютной величине и ортогональны, то мы имеем простую кубическую решетку.

Полный электростатический потенциал, создаваемый всеми атомами решетки, равен сумме потенциалов каждого отдельного атома. Потенциал в первом приближении можно считать сферически симметричным относительно центра атома Приближенно этот потенциал можно представить в виде экранированного кулоновского потенциала (см. рис. 99). Однако при более точном рассмотрении потенциал несколько отклоняется от сферической симметрии (особенно на больших расстояниях) и имеет симметрию кристалла. Полный потенциал равен

Функция V является периодической в том смысле, что она не изменится, если сместить на любой вектор решетки или с.

Определим теперь вероятность рассеяния электрона этим потенциалом. Для амплитуды рассеянной волны получаем

Заметим, что в этом уравнении интеграл не зависит от индекса суммирования поэтому его можно обозначить через и он точно равен коэффициенту Фурье потенциала любого из атомов. Итак, будем иметь

Записав мы видим, что сумма в уравнении (21.57) равна нулю, за исключением тех случаев, когда выполняются условия

где — целые числа. А это есть не что иное, как хорошо известные интерференционные условия Брэгга — Вульфа для отражения от кристаллов ([11], стр. 486—495; [71]).

Совершенная периодичность потенциала V предполагает, что кристалл имеет бесконечные размеры. Ясно, что реальные кристаллы имеют лишь конечное число атомов, хотя это число и может быть очень большим. Если сумма (21.57) берется по конечному числу значений то мы получаем функцию с острыми максимумами вблизи брэгговских углов. Ширина максимумов обратно пропорциональна размеру кристалла. Эта задача очень похожа на задачу о разрешаю щей способности конечной дифракционной решетки в оптике.

Функция называется «атомным структурным фактором». Она определяет интенсивность отражения электронов в любом направлении, разрешенном интерференционными условиями. Ясно, что для получения больших изменений импульса нужно иметь атомы, потенциалы которых резко изменяются как функции координат, в противном случае отсутствуют соответствующие коэффициенты Фурье.

Дифракция электронов — мощное средство исследования структуры кристалла. Его можно также использовать для определения «атомного структурного фактора» и тем самым для получения сведений о характере распределения потенциала внутри атома. Наконец,

дифракция электронов может быть использована для изучения структуры молекул.

Задача 9. Предполагая, что потенциал, создаваемый атомом, равен вычислить дифракционные полосы, которые следует ожидать при рассеянии от двухатомной молекулы с межатомным расстоянием, равным а. Приняв , оценить минимальную энергию электрона, необходимую для того, чтобы четко обнаружить разделение двух атомов в молекуле.

Указание. Необходимо провести усреднение по всем возможным ориентациям оси молекулы.