4. Матрицы для операторов ...
Вычислим теперь постоянные в уравнениях (17.4). Так как 
эрмитовские операторы, то 
являются эрмитовскими сопряженными операторами. Использовав это, запишем уравнение (14.31) в матричном представлении, а именно 
Далее,
Для случая 
имеем
Заметим, что фазы 
при этом остались неопределенными, поскольку любой их выбор удовлетворяет правилам коммутации. Это означает
где 
произвольное вещественное число.
Так как 
величина, эрмитовски сопряженная 
то имеем
Покажем теперь, что подбором постоянного фазового множителя при определении волновых функций можно исключить фазовый множитель из матричных элементов. Для этого обратимся к случаю единственных неисчезающих матричных элементов 
а именно:
Задача 1. Доказать с помощью уравнения (17.9), что при умножении волновой функции 
на фазовый множитель 
матричные элементы умножаются на 
так что фазовые множители в уравнении (17.7) выпадают. Подтвердить также, что матричные элементы 
при этом преобразовании не изменяются.
Из этой задачи видно, что матричные элементы, полученные умножением 
на подходящий постоянный фазовый множитель, дают такое же представление, как и при старой системе функций. Поэтому всегда можно допустить, что мы пришли к такому представлению, выбрав все фазовые множители равными единице. Тогда получаем
В качестве примера выпишем матричные элементы для случая 
:
где ряды и столбцы соответствуют 
Задача 2. Найти 
для случая 
и показать с помощью уравнений (14.15) и (14.61), что тот же результат получается для сферических гармоник в случае 
Матрицы момента количества движения для спина 
были впервые найдены Паули. Эти три матрицы, называемые матрицами Паули, имеют вид
где 
- матрицы, определяемые уравнением (17.13).
Поскольку 
-матрицы пропорциональны операторам момента количества движения, то они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
и другим соотношениям, получаемым циклической перестановкой 
Эти три перестановочных соотношения содержатся также в векторном уравнении 
Легко показать непосредственным вычислением, что
Отсюда и из (17.15) получаем
или в более общем виде
Прямым вычислением можно показать, что 
или
и
Это согласуется с выводами, полученными из уравнения (17.1а) с 
