13. Применение теоремы разложения.

В гл. 10, п. 22 указывалось, что любая произвольная функция может быть разложена в ряд по собственным функциям некоторого эрмитовского оператора. Применим теперь эту теорему к оператору Гамильтона для прямоугольной потенциальной ямы. Собственные функции должны включать непрерывный спектр собственных значений для и дискретный спектр всех связанных состояний с

С первого взгляда непонятно, почему нужны связанные состояния. Причина заключается в том, что внутри ямы собственные функции для так искажаются потенциалом, что они вообще не способны выражать определенного типа функций. Функции, которые не могут быть выражены через интеграл от совокупности (континуума) собственных функций, являются в действительности как раз волновыми функциями связанных состояний. Для более детального рассмотрения этого заметим, что собственные функции связанных состояний ортогональны к континууму функций (см. гл. . Поэтому невозможно разложить функции связанных состояний по континууму функций, так как, согласно (10.55), коэффициент разложения равен

Он обращается в нуль, когда является волновой функцией связанного состояния и принадлежит континууму. Таким образом, чтобы выразить все возможные функции, мы должны суммировать по связанным состояниям и интегрировать по непрерывному спектру.