15. Присоединенные функции Лежандра.

Полиномы Лежандра являются собственными функциями оператора при Собственные функции для других значений находятся из уравнения (14.47). Обозначим собственные функции, принадлежащие через тогда полная волновая функция равна

Иное выражение для можно получить из разложения, данного в уравнении (14.47). Мы нашли, что соответствует Подставим теперь в уравнение (14.47)

Если рассматривать отрицательные значения то можно использовать уравнение (14.48а), что дает

Это означает, что

Поскольку в п. 13 мы могли выбрать тем же основанием, что и то можно также получить

называют «присоединенными функциями Лежандра». Отметим, что

Перечислим некоторые важные свойства присоединенных функций Лежандра:

1) Нормировка. Нормировочный коэффициент для функции можно получить из соотношения, которое здесь приводится без доказательства ([39], стр. 281):

2) Поверхностные гармоники. В соответствии с постулатом разложения наиболее общую функцию или можно представить в виде ряда по функциям

Эти функции одновременно являются собственными функциями коммутирующих операторов и так как они не вырождены (ибо или , или различны для каждой функции), то все они ортогональны. Нормированные функции обозначаются через Поэтому для произвольной функции имеем

Чтобы вычислить умножим (14.63) на и проинтегрируем по телесному углу, используя свойства ортогональности и нормировки

где

3) Дифференциальное уравнение для определения присоединенных функций Лежандра. Так как является собственной функцией оператора с собственным значением и оператора с собственным значением то она должна удовлетворять уравнению

Оператор получен из уравнений (14.2) и (14.16) при условии

Окончательно уравнение имеет вид

Присоединенные функции Лежандра часто получают путем решения этого уравнения и нахождения его собственных значений (см., например, [10], стр. 131).

4) Общая форма функций Мы уже видели, что это просто полиномы, имеющие I корней в интервале от до Из уравнения (14.58) видно, что функция равна произведению полинома степени на множитель Читатель может легко проверить (см. примечание на стр. 378), что этот полином имеет корней в интервале От до 1; следовательно, функция колеблется не так часто, как при Множитель стремится увеличить функцию при т. е. в экваториальной плоскости. Чем больше тем острее этот максимум. Действительно, при уравнения (14.58) следует

При большом функция имеет острый максимум при Физически это значит, что частица стремится находиться вблизи экваториальной плоскости. По мере приближения к классическому пределу больших чисел этот максимум становится все острее и острее, так что при частица как бы вращается по орбите, которая почти точно находится в экваториальной плоскости. Однако в положении орбиты остаются небольшие флуктуации, которые обусловливаются тем, что если -составляющая момента количества движения определена, то -составляющие невозможно точно определить.

Если при заданном I убывает то роль множителя уменьшается, максимум становится менее острым и, наконец, при как мы видели, волновая функция почти равномерна относительно всех значений В процессе уменьшения при фиксированном значении I направление полного момента количества движения удаляется от оси Можно сказать, что в классическом пределе орбита отклоняется от экваториальной плоскости (орбита всегда нормальна к Но при квантовом описании нет преимущественных отдельных направлений Поэтому следует рассматривать систему распределенной по всем возможным значениям совместимым с данными значениями Это означает, что частицу можно найти внутри некоторого интервала углов Я, который возрастает с убыванием При достижении значения плоскость орбиты нормальна к экваториальной плоскости, и частица размазана по всем значениям

Как было указано в направления орбитальной плоскости и вектора момента количества движения (который в классической физике перпендикулярен к этой плоскости) нужно рассматривать как

не полностью определенные в том смысле, что частица распределена одновременно по всем направлениям. Это следует из нашей общей интерпретации волновой функции, согласно которой интерференционные свойства, зависящие от волновых функций при различных углах, указывают границы применимости результатов, имеющих физическое значение.

5) Число узлов функций Как было показано, имеет нулей. Каждый из этих нулей определяет узловой конус, соответствующий постоянной широте. Если рассмотреть вещественную часть полной угловой волновой функции то увидим, что определяет узловых плоскостей. Тогда полное число узловых плоскостей равно

Это — полезное замечание, на. которое мы будем, ссылаться позже.