ГЛАВА 14. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ

В этой главе мы рассмотрим решение волнового уравнения в трех измерениях. Здесь будет использован метод разделения переменных. В процессе решения задачи мы исследуем свойства операторов момента количества движения и шаровые функции, которые являются их собственными функциями. Особое внимание будет уделено возможности измерения различных составляющих момента количества движения и задаче орбит.

1. Разделение переменных.

Начнем с описания метода разделения переменных. В трех измерениях волновое уравнение принимает вид

Очень часто потенциал является только функцией расстояния от некоторого центра симметрии, который может быть, например, центром атома. В этом случае удобнее записать уравнение Шредингера в сферических полярных координатах . В любой книге по теоретической физике (см., например, 138]) показывается, что оператор Лапласа, выраженный в этих координатах, принимает вид

Обозначим оператор в прямых скобках через

Если V является только функцией от то, как мы покажем, решение можно получить в виде произведения двух функций, одна из которых включает только радиус, а другая углы и Чтобы получить такое решение, положим

Тогда уравнение Шредингера примет вид

Разделив (14.4) на , получаем

В этом уравнении требуется, чтобы функция от и функция от по отдельности равнялись друг другу при всех значениях Это возможно только, когда каждая функция постоянна. Обозначим эту постоянную через —с. Тогда мы получим следующие два уравнения:

Если мы сможем получить физически допустимые решения этих двух уравнений, то произведение будет решением уравнения Шредингера. Мы увидим, что в общем случае допустимые решения возможны лишь при определенных значениях с и и что произвольную функцию можно разложить в ряд по произведениям

Однако разделение волновой функции на произведение функций от и от зависит от того, является ли V функцией только от Если V одновременно зависит от и 0 неразделимым образом, то невозможно такое разделение волновой функции.

Задача 1. Показать, что в сферических координатах разделение волновой функции на произведения функций возможно, если при условии, что

Очевидно, что в каждой задаче, в которой V является функцией только от радиуса, будем иметь дело с теми же угловыми функциями Поэтому отложим рассмотрение радиального волнового уравнения до тех пор, пока мы не найдем решения для возможных значений с и соответствующих им собственных функций Последнее можно сделать многими способами. Например, можно решить уравнение (14.56) аналогично тому, как решалось волновое уравнение гармонического осциллятора. Здесь можно показать, что только при определенных значениях с получаются физически допустимые функции, которые называются «шаровыми функциями». Однако мы воспользуемся несколько более окольным путем, в котором яснее физическая картина и требуется более простой математический аппарат. Что касается более прямого метода, то читатель может познакомиться с ним в руководствах по квантовой теории (см., например, [10], стр. 118), электродинамике или математическому анализу.