24. Ортогональность собственных функций эрмитовского оператора.

Предположим, что — различные собственные функции одного и того же эрмитовского оператора О, принадлежащие

соответственно собственным значениям Можно показать, что если разные собственные значения, то

Все функции, удовлетворяющие этому соотношению, называются ортогональными. Докажем ортогональность собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям.

Для этого рассмотрим следующий интеграл:

Поскольку —эрмитовский оператор, имеем также

Так как собственные значения О вещественны, то

Приравнивая два значения получаем

Если то т. е. и ортогональны. Если же то нельзя сделать никаких определенных заключений.

Примеры, а) Как мы видели, в рядах Фурье каждый член является собственной функцией эрмитовского оператора Наша теорема утверждает, что если Но это было уже известно при рассмотрении рядов Фурье. Поэтому ортогональность с точки зрения рядов Фурье — частный случай нашей общей теоремы (см. гл. 1, п. 5).

б) Возможные две собственные функции оператора (для случая свободной частицы) принадлежат одному и тому же собственному значению оператора Простое вычисление показывает, что они не ортогональны. Это — пример отсутствия ортогональности при двух одинаковых собственных значениях. Но неортогональность двух собственных функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению, необязательна. Например, функции принадлежат одному и тому же собственному значению оператора но, как показывает простой расчет, они все же ортогональны. Таким образом, равенство собственных значений еще не указывает на ортогональность собственных функций

Задача 13. Рассмотреть ящик размера с периодическими граничными условиями. Допустимые собственные функции оператора в этом случае равны при Доказать ортогональность собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям оператора