§ 10.7. Управление как игра

Во многих случаях целесообразно рассматривать процесс управления как некую игру. Мы проиллюстрируем это на простом примере. Пусть управляемая система описывается дифференциальным уравнением

                                        (10.28)

Будем искать такое управляющее воздействие , чтобы функционал

                                                (10.29)

для заданного начального условия  достигал минимума. При этом управляющее воздействие должно подчиняться некоторым ограничениям, а именно:

                                                                      (10.30)

Для сведения этой задачи оптимального управления к игровой задаче воспользуемся очевидным тождеством

                                                                               (10.31)

Тогда

                       (10.32)

На основании теоремы о минимаксе (10.11) можно поменять символы max и min местами. Следовательно.

               (10.33)

Равенство (10.33) свидетельствует о том, что  и  образуют седловую точку.

Обозначим через  множество функций , удовлетворяющих условию (10.30), а через  — множество функций , удовлетворяющих условию . Тогда

                      (10.34)

и значит, на основании теоремы о минимаксе имеем

            (10.35)