§ 5.2. Оценка среднего значения

Для уяснения физического смысла и ряда особенностей алгоритмов адаптации мы начнем с простейшей задачи — оценки среднего значения случайного процесса

                  (5.1)

где — неизвестная постоянная, а  — помеха с нулевым средним значением и конечной дисперсией. Такая задача возникает, например, при обработке результатов измерений или при выделении постоянного сигнала на фоне шумов. Наблюдаемая величина  — это реализация, которую только мы и можем измерять или обрабатывать.

Если ошибки, вызываемые помехой, равновероятны, то наилучшей оценкой после  наблюдений будет среднее арифметическое

                  (5.2)

Подставляя сюда  из (5.1), получим

                 (5.3)

Отсюда следует, что с ростом числа наблюдений влияние помех уменьшается, и оценка  стремится к искомому значению .

Преобразуем теперь оценку (5.2):

          (5.4)

или

   (5.5)

Соотношение (5.5) показывает, что с ростом  влияние новой информации   падает, поскольку вес ее, равный , обратно пропорционален числу измерений, и при этом   стремится к . Этот факт часто подтверждается и в жизни: мы должны основывать наши решения на прошлом опыте, не придавая слишком большого веса новой информации, которая сама по себе может вызвать лишь шарахания из стороны в сторону. Формулы вида (5.5) издавна использовались при юстировке точных приборов или при пристрелке во время стрельбы в форме правила: -я поправка берется равной  от величины полного отклонения.