§ 6.10. Критерий оптимальности приема

В пространстве реализаций каждой наблюдаемой точке  соответствует некоторое определенное решение. Поэтому все точки пространства должны быть разделены на две области:

 соответствующую решению  и , соответствующую решению .

Любому решению этой задачи присущи два  рода  ошибок:

1.  Ошибка первого рода, когда в действительности  , а принимается решение . Для задачи обнаружения это — ошибка ложной тревоги: сигнала нет, а принимается решение о том, что сигнал есть.

2.   Ошибка второго рода, когда в действительности , а принимается решение . Для задачи обнаружения такая ошибка соответствует пропуску сигнала или ложному отбою: сигнал имеется, а принято решение об его отсутствии.

Обозначим через  и  соответственно вероятности ошибок первого и второго рода, а через  —  плотность вероятности полученной реализации при условии, что параметр равен . Тогда вероятности ошибок первого и второго рода  определяются выражениями

                               (6.39)

и

.                                (6.40)

Общая безусловная вероятность ошибок первого и второго рода будет равна

                                                (6.41)

Соотношения (6.39) — (6.41) позволяют подсчитать вероятности ошибок и лежат в основе всех методов принятия решений. Если считать оптимальным такое решение, которое обеспечивает наименьшую общую безусловную вероятность ошибки (6.41), то мы приходим к критерию Котельникова, или, как его еще называют, к критерию идеального   наблюдателя.

Если считать оптимальным  такое   решение,   которое обеспечивает наименьшую вероятность пропуска сигнала

                          (6.42)

при условии заданной вероятности ложной тревоги

,                    (6.43)

то мы приходим к критерию Неймана — Пирсона.

В тех случаях, когда ошибки первого и второго рода не одинаково важны или опасны, вместо общей безусловной  вероятности  следует  рассматривать

                          (6.44)

где  — некоторый фиксированный множитель, характеризующий вес ошибок первого рода. При  из (6.44) получается критерий Котельникова (6.41). Если же  считать неопределенным, и после минимизации (6.44) определять его из условия (6.43), то мы получаем критерий Неймана — Пирсона.