§ 1.4. Ограничения

Если бы векторы  и , входящие в функционал критерия оптимальности, не были стеснены какими-либо условиями, то проблема оптимальности, пожалуй, не имела бы смысла.

Проблема оптимальности возникает именно тогда, когда существуют взаимно противоречивые ограничивающие условия, и достижение оптимальности состоит в наилучшем удовлетворении этих условий, т. е. в выборе такого варианта, когда критерий оптимальности достигает экстремума.

Ограничивающие условия или просто ограничения, выражающиеся равенствами, неравенствами или логическими соотношениями, из всего множества вариантов выделяют так называемые допустимые варианты, среди которых и ищется оптимальный вариант.

Законы природы, описывающие те или иные явления и, в частности, определяющие поведение различных систем, представляют собой своеобразные ограничения. Этим законам, выраженным в виде алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений, подчиняются векторы  и .

Конкретный вид таких уравнений зависит от характера и особенностей рассматриваемой задачи, так что с явной записью различных уравнений мы будем часто встречаться во многих главах настоящей книги. Ограничения этого типа будем называть ограничениями первого рода. Иного характера ограничения могут быть вызваны ограниченностью ресурсов, энергии или иных величин, которые в силу физической природы той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов. Эти ограничения, которые мы будем называть ограничениями второго рода, налагаются на компоненты вектора  и выражаются в виде равенств

                           (1.13)

или неравенств

,                                  (1.14)

где  — некоторые функции вектора .

Часто ограничения могут относиться не к мгновенным, а к средним значениям, и тогда (1.13) и (1.14) заменяются равенствами или неравенствами математических ожиданий соответствующих функций:

                                (1.15)

или

.                              (1.16)

Таким образом, ограничения включают уравнения тех или иных процессов и пределы изменения некоторых функций от этих процессов.

Для автоматических систем — это уравнения движения и пределы изменений управляемых величин и управляющих воздействий. В задаче аппроксимации ограничения определяются характером аппроксимирующей функции. К сожалению, в реальных физических задачах количество ограничений, как правило, намного превышает то число, при котором постановка оптимальной задачи остается возможной и разумной.

Все эти ограничения сужают количество допустимых решений, облегчая, казалось бы, определение оптимального варианта, но само решение задачи при этом настолько усложняется, что хорошо знакомые нам классические методы становятся неприменимыми.