Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.3. РАЗЛИЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫСреди вопросов, изучаемых в математической статистике, имеются следующие: 1) Сжатие информации, представленной большим набором данных, до нескольких числовых значений (редукция данных). 2) Извлечение выборки из большой совокупности с последующими статистическими выводами о свойствах совокупности по выборке. Эта процедура может преследовать следующие цели: а) проверку какого-либо вероятностного суждения, например гипотезы о том, что рассматриваемая совокупность имеет распредоление вероятностей, принадлежащее определенному классу (проверка гипотез); б) нахождение оценки и дисперсии оценки неизвестного параметра функции распределения вероятности для данной совокупности (оценивание параметров распределения). 3) Анализ стохастической связи между двумя характеристиками, например отыскание числовых значений оценок и дисперсий оценок коэффициентов предполагаемой связи между величинами и Задачу оценивания параметров объекта можно рассматривать как исследование параметров распределения или параметров связи. Последнее естественно, когда Ожидаемые результаты оценивания могут быть самыми разными в зависимости от характера прикладной задачи и доступной априорной информации. Рассмотрим описание объекта в пространстве состояний:
где
Уравнения модели имеют тот же вид:
где
Фиг. 2.2. линейный случай. Теперь задачу оценивания параметров можпо сформулировать как задачу минимизации: (см. скан) Некоторая функция (функционал) от В зависимости от модели и входного сигнала эта ошибка определяет некоторую меру соответствия между векторами параметров и (или) состояний объекта и модели. В некоторых случаях соответствие между входом и выходом важнее соответствия параметров, и в частности, если модель проще, например более низкого порядка, чем объект. Очевидно, что величины
Фиг. 2.3. Однако это возможно только тогда, когда имеется какая-то априорная информация о распределениях вероятностей. Как и во множестве других ситуаций, мы стремимся найти оптимальную или наилучшую процедуру оценивания. Однако определение наилучшей оценки зависит от вида прикладной задачи, требований, предъявляемых к оценке, априорной информации об объекте и помехах. В литературе по математической статистике описан ряд различных процедур оценивания. Эти методы отличаются прежде всего по используемому критерию оптимальности и имеющейся априорной информации. К сожалению, выбор критерия оптимальности более или менее субъективен, а получающиеся алгоритмы существеппо зависят от сделанного выбора. Все эти процедуры оценивания и их взаимосвязь рассматриваются в гл. 5. Здесь приводится лишь краткое предварительное обсуждение. Следует еще раз подчеркнуть, что после первого чтения этой главы У читателя должно создаться лишь самое общее представление о методах оценивания и связанных с ними алгоритмах. Один из простых подходов может быть иллюстрирован блок-схемой, представленной на фиг. 2.3. Рассматривается случай выборочных измерений функций непрерывного времени. Символами соответствующих выборок, например
Символами
Отсюда находим
где
Столбцы Теперь можно поставить задачу как отыскание оценки Оценивание по методу наименьших квадратовВ этом случае не требуется никакой априорной информации. Критерий ошибки определяется как
где
Здесь I — единичная матрица. Минимизируя критерий ошибки, получаем так называемую систему нормальных уравнений для оценивания параметров:
Здесь, как и раньше, Марковские оценки или оценивание по обобщенному методу наименьших квадратовПредположим теперь, что известна ковариационная матрица аддитивного шума
Можно доказать, что при
что приводит к следующему правилу оценивания:
(марковская оценка или оценивание по обобщенному методу наименьших квадратов). Оценивание методом максимального правдоподобияКак уже отмечалось, задачу оценивания можно рассматривать как исследование параметров распределения вероятностей. Рассмотрим вектор выхода у. Априори (до измерений) известно, что выборочные значения у являются случайными величинами с совместным распределением вероятностей
зависящим от вектора параметров
Эта функция называется функцией правдоподобия. Так как выборочные значения определяются в результате измерений,
Решение этого уравнения Оценивание по минимальному среднему рискуВ этом случае необходима еще большая априорная информация. Как показано в гл. 5, должны быть заданы плотности распределения вероятностей С теоретической и практической точек зрения интересно рассмотреть вопрос о том, какая априорная информация будет использоваться на практике. Вообще говоря, дополнительная априорная информация приводит к улучшению оценки, однако затраты на реализацию могут оказаться чрезмерными. Какие бы методы оценивания ни использовались, они должны опираться на случайные наблюдения, случайность которых связана с наличием помех. Следовательно, любая оценка, являющаяся функцией этих случайных наблюдений, также является случайной величиной.
|
1 |
Оглавление
|