3.5. ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ; БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Выбор способа описания сигнала существенно зависит от имеющихся возможностей по реализации процедур обработки сигналов. Частотное представление сигналов с помощью преобразования Фурье (см. табл. 3.2) имеет большое значение, несмотря на недостатки, связанные:

1) с бесконечностью интервала наблюдения;

2) с необходимостью интегрирования.

Ясно, что в практических ситуациях первый фактор представляет серьезную проблему, так как бесконечный интервал наблюдения исключительно неудобен. На фиг. 3.6 иллюстрируется эффект, связанный с конечностью интервала наблюдения. Здесь наблюдаемый отрезок синусоиды рассматривается как произведение синусоидальной функции на прямоугольную функцию

Так как операции умножения во временной области соответствует операция свертки в частотной области, преобразование Фурье будет иметь вид

Фиг. 3.6.

Это иллюстрируется фиг. 3.7. Так как ширина спектра обратно пропорциональна длине прямоугольной функции, естественно, возникают трудности, связанные с размыванием и искажением спектра исходной функции. С этим борются, выбирая более гладкую «функцию-окош-ко» Это свойство преобразования Фурье и другие близкие вопросы рассмотрены в работах [2, 3, 16].

Второй недостаток преобразования Фурье состоит в необходимости интегрирования. Для реализации этой операции на ЦВМ необходимо записать дискретную форму преобразования Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). ДПФ и обратное ДПФ для функции, заданной в дискретных точках, могут быть записаны в виде

и

Фиг. 3.7.

Отметим, что эти выражения очень похожи. Это означает, что оба преобразования могут быть реализованы с помощью одной процедуры. Однако реализация этой процедуры требует выполнения умножений. Для функций, заданных большим числом выборочных значений, это означает огромное с точки зрения реализации увеличение затрат машинного времени.

С появлением быстрого преобразования Фурье (БПФ) практическое использование частотных представлений заметно расширилось. БПФ обеспечивает значительное уменьшение затрат машинпого времени и снижает ошибки округления. К тому же БПФ может быть реализовано при сравнительно небольшой машинной памяти.

БПФ основано на следующей идее. Число умножений Для вычисления

где

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 3.9.

может быть сделано значительно меньше, чем благодаря тому, что:

а) может принимать только разных значений; это показано на фиг. 3.8 для случая

б) эти значения симметричны (фиг. 3.9);

в) одно и то же произведение встречается в БПФ неоднократно, так что можно сгруппировать соответствующие члены.

Можно показать, что число умножений может быть уменьшено до если т. е. является целой степенью 2. Тогда для расходуемое время уменьшается до

Введение в теорию БПФ можно найти в работах [4, 5]. Другие интересные публикации на эту тему — работы [6, 11] и [9, 10].

Пример. Использование малой вычислительной машины для вычисления БПФ иллюстрируется на фиг. На фиг. 3.10 верхний график на каждой фотографии соответствует дискретным значениям преобразуемой функции нижний график изображает соответствующий энергетический спектр На фиг. 3.10, а - д виден рассмотренный в этом разделе эффект применения «окошка» из-за конечности реализации. В качестве предельных размеров «окошка» выбрана величина, кратная полупериоду синусоидальной волны — от полупериода до максимального в два с половиной полупериода. По графикам можно проследить «развитие» спектра и

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 3.11.

взаимосвязь между разрешимостью спектра и интервалом наблюдения (см. фиг. 3.6 и 3.7, где вместо приводится На фиг. 3.11 показаны вещественная и мнимая части для случая, которому соответствует фиг. 3.10, в.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)