4.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

Значение свойства линейности и связанного с ним принципа суперпозиции отмечено в разд. 4.1. В случае линейной модели знания одной функции времени, характеризующей объект (весовой функции), достаточно для определения выходного сигнала объекта при произвольных входных сигналах. Это обеспечивает преимущества, которые хотелось бы сохранить и при описаниинелинейных объектов, а именно:

1) возможность явно записать связь между входом и выходом;

2) простота описания соединений систем;

3) возможность рассмотрения случайных сигналов. Для некоторых классов нелинейных объектов эти требования выполняются при использовании рядов Вольтерра.

Разложение Вольтерра

Используя ряды Вольтерра, ядра которых представляют собой весовые функции высших порядков, можно получить описание нелинейного объекта, допускающее ясную физическую интерпретацию. Этот метод имеет большое достоинство, связанное с тем, что нелинейная система рассматривается как непосредственное обобщение линейного случая, хотя сам объект можетсущественно отличаться от лилейного. Иначе говоря, метод с использованием рядов Вольтерра интерпретирует линейные объекты как подкласс нелинейных объектов [63].

Это достоинство вряд ли можно переоценить, так как на временной и спектральный анализ линейных систем затрачено немало времени и усилий, а ряды Вольтерра позволяют использовать накопленные знания для исследования нелинейных систем.

Анализ и синтез с помощью рядов Вольтерра является наиболее удобным из существующих методов изучения нелинейных систем. Изложению этого метода посвящена обширная литература.

Рассмотрим нелинейный объект с памятью. Пусть и при Кроме того, допустим, что память

Фиг. 4.4.

конечна, т. е. величина и при достаточно большом ничего не добавляет к выходному сигналу Эти допущения естественно вытекают из требований устойчивости и физической реализуемости объекта (у идеального интегратора бесконечная память). Входной сигнал можно аппроксимировать конечным числом прямоугольных импульсов. Обозначим выборочные значения и при взятые с интервалом через соответственно (фиг. 4.4). Величина выбирается достаточно большой, чтобы при ничего не добавляло к Таким образом, выходной сигнал аппроксимируется функцией переменных Используя разложение в ряд Тейлора функции многих переменных [21], получим

Начальные условия предполагаются нулевыми. При выполнении этих условий и если мало по сравнению с постоянной времени системы, является хорошей аппроксимацией

Если все и положить равными нулю, то останется только один член аппроксимация интеграла свертки для линейного объекта. Покажем это. Пусть где амплитуда, ширина импульса. Тогда

Учитывая порядок нумерации (см. фиг. 4.4), покажем, что эта сумма при стремится к

При подаче на систему двух импульсов вид линейного члена разложения определяется принципом суперпозиции:

Если учесть квадратичные члены или члены более высоких порядков, то становится очевидным взаимодействие двух импульсов. Пусть тогда сумма двух импульсов даст в квадратичном члене добавку вида

В пределе уквадр принимает вид

Таким образом,

преобразуется в ряд Вольтерра вида

Таким образом, разложение в ряд Вольтерра является непосредственным обобщением модели линейного объекта в форме интеграла свертки. Весовая функция линейной системы заменяется весовыми функциями (ядрами)

Функция называется весовой функцией порядка. Интеграл

называется функционалом порядка. Ряд Вольтерра известен как функциональный степенной ряд, или функциональное разложение. Если объект не содержит динамических элементов или при периодическом входном сигнале частота сигнала стремится к нулю, то ряд (4.34) превращается в степенной ряд по и. Допустим, что динамические элементы отсутствуют, т. е.

Тогда функциональный ряд принимает вид

Ниже будет показано, что поведение степенного ряда определяет характер нелинейности. В некоторых случаях, используя степенные ряды, можно исследовать сходимость ряда Вольтерра. Если перейти к ряду Вольтерра с бесконечным числом членов, то по теореме Фреше функциональным степенным рядом можно описать связь между входом и выходом произвольного непрерывного нелинейного объекта. Функциональный ряд единствен и сходится при называется радиусом сходимости. Для функционального ряда редко удается записать замкнутое выражение, обычно используются разложения в ряд с конечным числом членов или разложения, которые дают удовлетворительную оценку по нескольким членам.

Ядра рядов Вольтерра для физически реализуемых объектов обладают следующими свойствами:

является симметричной функцией или может быть симметризована.

Первые два свойства тривиальны. Выходной сигнал физически реализуемой системы зависит только от предыстории входного сигнала. Все устойчивые объекты имеют конечную память, так что для больших весовые функции стремятся к нулю. Отметим, что интегратор представляет собой пример объекта с бесконечной памятью, характеристики которого находятся на границе устойчивости.

Перейдем к третьему свойству. Ядра являются симметричными или могут быть представлены в симметричном виде циклической перестановкой аргументов несимметричного ядра. Покажем это для двумерпого случая на примере

Левое и правое выражения не равны между собой, но если проинтегрировать эти выражения в одних и тех же пределах по первому квадранту плоскости та), то величина

интеграла

совпадает с интегралом

Таким образом, в общем случае симметризация проводится по формуле

Определение ядер по дифференциальным уравнениям. В принципе эту задачу можно решить, подставляя ряд Вольтерра для и его производные в дифференциальное уравнение, как это было сделано в разд. 4.2 при исследовании линейных систем. В работе [19] это проделано для дифференциальных уравнений вида

где линейный стационарный динамический оператор, например полином от у и производных у. Производная высшего порядка входит в 0, порядок полинома не ниже второго. Метод состоит в определении дифференцированием ряда Вольтерра (4.34) с последующей подстановкой в уравнение (4.37). Полученное выражение должно быть справедливо при произвольных входных воздействиях, поэтому можпо приравнять нулю коэффициенты при всех функционалах от Это приводит к системе уравнений в частных производных, решив которые можно определить ядра Вольтерра. В работе [19] процедура подстановки показана на примере

дифференциального уравнения

Эта процедура здесь не воспроизводится, так как она достаточно трудоемка, особенно для более сложных дифференциальных уравнений. Удобцее воспользоваться методом многомерного преобразования Лапласа.

Использование преобразования Лапласа. Многомерное преобразование Лапласа определяется следующей формулой:

и называется преобразованием Лапласа степени. Для того чтобы преобразовать функционал

введем новые переменные вместо одной переменной Если

и

то

Теперь функцию можно найти, применяя обратное преобразование Лапласа к с последующей подстановкой Этот прием

довольно трудоемок, и лучше воспользоваться методом группировки переменных [22], который устанавливает связь между Рассмотрим, например,

Положим Тогда

Следовательно,

можно найти по функции применяя преобразование (4.44) последовательно к Способ группировки переменных может подсказать и вид функции

В пространстве ядра обладают симметрией, определяемой следующим образом:

Объекты с линейными звеньями и множительными устройствами хорошо описываются рядами Вольтерра. Вид ядер можно непосредственно определить из структуры такого нелинейного объекта. Это оказывается полезным при решении задачи определения ядер, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Кроме того, в этом случае по ядрам легче строить модель объекта.

Фиг. 4.5.

Рассмотрим схему, изображенную на фиг. 4.5.

Это функционал второй степени по Преобразование Лапласа определится как

Использование формулы (4.44) для группировки переменных приводит к выражению

Следовательно,

Это приводит к формулам

и

где

Этот результат можно обобищть следующими утверждениями:

1) если рассматривать линейные системы, выходы которых перемножаются, то преобразование ядра объекта имеет вид

2) если такой объект соединить последовательно с линейной системой, передаточная функция которой то преобразование ядра нового объекта имеет вид

Это функция переменных, которая во временной области соответствует функционалу степени.

Временное представление сводится к сложным интегралам. Преобразование Лапласа имеет простую структуру и может быть сразу переведено на язык схем. Правила перевода приведены на фиг. 4.6.

Фиг. 4.6. (см. скан)

а) Если то систему можно описать уравнением

Если

где

где

Пример 1. В соответствии с фиг. 4.7

где

Использованы правила б) и в).

Пример 2. На фиг. 4,8 представлен объект, состоящий из линейной и нелинейной частей. Динамика объекта

Фиг. 4.7.

Фиг. 4.8.

описывается уравнением

где

Этот пример демонстрирует изящество многомерного преобразования Лапласа; формула для достаточно сложна, а преобразование имеет простой вид и легко может быть интерпретировано. Простота записи в частотной области может быть использована при определении и ядер ряда Вольтерра по дифференциальным уравнениям;

Пример 3. Рассмотрим уравнение

Дифференцирование ряда Вольтерра является достаточно трудоемкой операцией. Таким образом, желательно заменить операцию дифференцирования соответствующей операцией для преобразований. Для одномерного преобразования Лапласа ото сводится к умножению на а в случае -мерного преобразования — к умножению на В рассматриваемом примере преобразование Лапласа от ядра второго порядка в результате дифференцирования ядра заменяется на

При этом исходное уравнение принимает вид

откуда

Применение обратного преобразования дает

Для имеем

Члены более высокого порядка могут быть вычислены точно так же. Без априорной информации об объекте невозможно определить, сколько членов потребуется для адекватного описания объекта. Этот пример показывает, что для некоторых типов дифференциальных уравнений довольно просто можно определить соответствующие им ряды Вольтерра.

Ядра определяются через преобразования Лапласа. Ряды Вольтерра можно реализовать схемами, состоящими из линейных звеньев и умножителей. С другой стороны, для нелинейных объектов,

Фиг. 4.9.

составленных из линейных звеньев и умножителей, могут быть определены переходные характеристики.

Из приведенных примеров видно, что модели, основанные на рядах Вольтерра, могут быть легко набраны на аналоговых вычислительных машинах. На фиг. 4.9 представлены две осциллограммы ядра второго порядка для простого нелинейного объекта. Эта «весовая функция» была определена экспериментально [57]. Другие результаты в теории и приложениях рядов Вольтерра можно найти в работах [45, 51]. В работе [19] рассматривается также случай ненулевых начальных условий. Для нелинейных импульсных объектов можно воспользоваться рядами Вольтерра в дискретной форме. Применяя многомерное z-преобразование, приходим к схеме, которая аналогична схеме, полученной в непрерывном случае (см. [1]).

Другие способы описания нелинейных объектов

Кроме разложения в ряды Вольтерра, существует также несколько других способов описания нелинейных объектов, которые будут дапы ниже в сокращенном изложении. Своим происхождением эти методы в большей или меньшей степени обязаны исследованиям, направленным на разработку способов идентификации нелинейных объектов. В работе [38] предлагается функциональное разложение с ортогональными свойствами. Входной сигнал представляет собой случайный шум с равномерным энергетическим спектром (белый шум). Разложение имеет следующий вид:

где является функционалом от и есть функции переменных, которые, не совпадая с ядрами ряда Вольтерра, могут быть сопоставлены им. Если входной сигнал и белый шум, то является функционалом степени, ортогональным ко всем функционалам с номерами

Черта сверху означает усреднение. Несколько первых членов функционального ряда имеют вид

Здесь к — мощность белого шума. Ортогональность ряда приводит к простым методам идентификации неизвестных нелинейных объектов. Так, ядра можно определить, используя корреляционныо методы.

Винер [60] разработал другой способ описания нелинейных объектов, и в этом случае цель разработки была продиктована необходимостью идентификации неизвестных объектов. Были использованы ортогональные функции Лагерра и полиномы Эрмита. Ортогональность привела к простой общей модели. Разложение входного сигнала и по функциям Лагерра имеет вид

где функции Лагерра. Таким образом, предыстория сигнала известна, если заданы коэффициенты (фиг. 4. 10). Если и разложить в ряд по ортогоальным полиномам, то отклик примет вид

где являются коэффициентами разложения в ряд сигнала и

Следующий шаг состоит в разложении в ряд по полиномам Эрмита, так что

Так как это разложение отражает связь между входным и выходным сигналами произвольного нелинейного

Фиг. 4.10.

объекта, то по такой модели можно идентифицировать неизвестный объект. Если входной сигнал является белым шумом, то благодаря ортогональности такая модель в принципе может быть легко построена.

Эта модель описывается следующим образом. Без особого изменения по сравнепию с табл. 3.1 функции Лагерра можно записать как

Преобразование Лапласа функций Лагерра имеет вид

Коэффициенты разложения в ряд по функциям Лагерра могут быть легко найдены с помощью простых ступенчатых схем или аналоговых элементов. Соответствующий фильтр вместе с его реализацией показан на фиг. 4.11. Коэффициенты Лагерра равны

(кликните для просмотра скана)

или при

Следовательно, коэффициенты определяют предысторию и

В качестве последнего примера рассмотрим модели, использующие разложения в ряд по полипомам Чебыше-ва. Эти разложения можно использовать только при ограниченном входном сигнале. Для нелинейного безынерционного объекта

В этом случае

где представляет собой максимальную величину входного сигпала. Это разложение хорошо подходит для синусоидальных входных сигналов. Если то для безынерционного объекта имеем

Коэффициенты полиномиального разложения подобны амплитудам высших гармоник входного сигнала.

Такое представление основано на следующем рекуррентном соотношении для полиномов Чебышева

Допустим, что равны соответственно Тогда

Подстановка показывает, что эта формула справедлива в случае а следовательно, и для любого k.

Для анализа систем наиболее удобны разложения в ряды Вольтерра. Ортогональные ряды имеют преимущества при идентификации нелинейных объектов. Они приводят к достаточно простым моделям, описывающим поведение системы. Однако ортогональные ряды трудно преобразовать в ряды Вольтерра,

Описание в пространство состояний. Как и в предыдущем разделе, представление нелинейного объекта в пространстве состояний может иметь вид

где вектор состояния; — наблюдаемый входной сигнал; вектор параметров объекта; входной шум (неизмеряемый входной сигнал); вектор помех наблюдений (или измерений); наблюдаемый выходной сигнал.