13.2. ВЫВОД ФУНКЦИИ ОШИБКИ

Будем пока рассматривать вектор параметров и состояния х, который может включать переменные состояния и параметры, или только переменные состояния (для нелинейных объектов), или только параметры (для объектов, нелинейно зависящих от параметров). При этом все эти разновидности задачи оценивания можно рассматривать совместно. Кроме того, при таком подходе многочисленные публикации по нелинейной калмановской фильтрации, например по использованию расширенного фильтра Калмана, относятся к пашей задаче.

Как и раньше, к задаче можно подходить с разных точек зрения, а именно используя байесовский подход, оценивание по методу максимального правдоподобия или метод наименьших квадратов. По-прежнему можно изучать связь между различными оценками в частных случаях (четные функции штрафа; гауссовские плотности распределения; белый шум), как это делалось в гл. 5. Во всех случаях рассматриваемые методы сводятся к минимизации функции ошибки относительно вектора параметров и состояниях на интервале Прежде всего кратко изложим два способа вывода такой функции ошибки:

А. Объект описывается следующими уравнениями:

Если априорная информация об объекте и шуме наблюдений отсутствует, можно использовать следующий прямой подход [7]. Определим величины

где представляет собой оценку траектории объекта. Если бы была истинной траекторией, при то Поэтому мояшо выбрать следующую подлежащую минимизации функцию ошибки:

Здесь неотрицательно определенные весовые матрицы; очевидно, что представляет собой взвешенный вариант критерия наименьших квадратов. Оценка обеспечивающая минимум является оптимальной в указанном смысле.

Б. Рассматриваемый объект по-прежнему задается уравнениями (13.7) и (13.8). Предположим теперь [5], что гауссовские векторные случайные величины с нулевыми средними значениями и ковариационными матрицами вида

т. е., другими словами, последовательности шума считаются белыми.

Байесовский подход. Опять используются обозначения

Нужно снова найти плотность условного распределения величины относительно наблюдений По правилу Байеса

Как и в гл. 5, можно использовать функцию штрафа или потерь для сведения этой апостериорной плотности распределения к простому набору числовых значений, т. е. для получения оценки по минимуму штрафа или потерь. С другой стороны, можно ограничиться определением таких числовых значений оценки, для которых плотность

условного распределения вероятностей (13.13) максимальна. При гауссовских плотностях распределения и четной функции штрафа или потерь оба метода приводят к одним и тем же оценкам. Перейдем теперь к максимизации (13.10) при условии (13.7), (13.8) и (13.12) и рассмотрим каждый член, входятций в правую часть (13.13).

Член является наиболее простой частью максимизируемой функции. Поскольку в него входят лишь числовые значения наблюдений он играет роль нормировочной постоянной, обеспечивающей равенство единице интеграла При максимизации этой составляющей можно пренебречь.

сводится к простому выражению по аналогии с (13.6) и с учетом того, что последовательность некоррелированная (белая):

причем вновь нормировочная постоянная учитывается в коэффициенте Используя сокращенное обозначение можно записать

можно преобразовать с учетом того, что

С учетом (13.7) и предположения о некоррелированности последовательности получим

Таким образом,

Из (13.7) также следует, что гауссовская плотность со средним и хсовариационной матрицей

Априорная плотность распределения также считается гауссовской со средним и ковариационной матрицей Следовательно, рассматриваемую составляющую можно записать в виде

если только матрица обратима. Здесь также является нормировочной постояпной. В сокращенной записи

Объединяя выражения для всех трех составляющих, получаем

где

Максимизация (13.14) по эквивалентна минимизации Последний член в (13.15) можно заменить на

ограничение задается формулой (13.7). Следовательно, можно минимизировать

где вектор множителей Лагранжа. В этой формулировке можно не требовать обратимости

Заметим, что состоит из трех частей, которые связаны с принятым допущением о значении вектора параметров и состояния с аддитивным шумом наблюдений с шумом объекта (а также с ограничениями, накладываемыми описанием объекта).

Весовые матрицы дают количественную характеристику относительной величины вклада этих составляющих в ошибку Отметим, что при к представляют собой числовые значения наблюдений, проводимых над объектом. Если априорная информация об отсутствует, то и первая компонента обращается в нуль.

Заметим, наконец, что в описании объекта (13.7) предполагалось, что отсутствует измеряемая входная последовательность При наличии такого входа не представляет труда модифицировать это описапие и все последующие выводы для учета этой дополнительной информации.