10.3. ДВОИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В разд. 8.1 было показано, что белый шум обладает свойствами, желательными с точки зрения определения весовой функции линейного объекта. Его корреляционная функция, аппроксимирующая функцию Дирака, позволяет обойтись без решения уравнения свертки; взаимная корреляционная функция входного и выходного сигналов объекта дает непосредственно весовую функцию объекта. Ту же идею можно использовать для выборочных ригналов; в случае белого шума матрица

в системе нормальных уравнений (разд. 6.1) сводится к диагональной матрице при достаточной длине интервала наблюдений. При этом исчезает необходимость обращения матрицы — процедуры, аналогичной решению уравнения свертки в случае непрерывных сигпалов. Поэтому не удивительно, что ряд исследователей посвятили немало времени и усилий ноиску сигналов, корреляционные свойства которых аналогичны свойствам белого шума. Несмотря на то что требования того же типа имеют место в задачах модуляции радио- и ультразвуковых сигналов [37], существует, по-видимому, очень слабая связь этих задач с вопросами оценивания параметров.

Сигнал (или временная последовательность, которую предполагается построить) может быть как периодическим, так и непериодическим. В классе периодических сигналов рядом интересных практических свойств обладает подкласс двоичных тестсигналов. Действительно, эти сигналы можно генерировать с помощью релейных или цифровых устройств; вместо умножения аналоговых сигналов возникают операции релейного типа; из всех сигналов с амплитудой —а и а двоичный сигнал а передает исследуемому объекту максимальную мощность.

На следующей диаграмме показаны основные соотношения:

(см. скан)

Сигнал со случайными интервалами (телеграфный) имеет? пуассоновское распределение числа переключений амплитуды с одного уровня на другой в заданном интервале времени. Его можно реализовать с помощью радиоактивного источника и детектора радиации, осуществляющего изменение полярности при поступлении каждой частицы. Его корреляционная функция имеет вид

где действительная постоянная.

Интервалы между переключениями легко дискретизировать, используя тактовые импульсы с периодом 0. При этом изменение полярпости сигнала может произойти только в конце целого числа периодов 0. Корреляционная функция этого сигнала

Эта корреляционная функция может сколь угодно точно аппроксимировать -функцию Дирака. Такие сигналы обладают еще и тем преимуществом, что легко осуществлять их задержку, используя регистр сдвига, запускаемый теми же тактовыми импульсами.

m-последовательности

Из-за случайной природы упоминавшихся сигналов приходится сталкиваться с внутренней статистической неопределенностью, которая, как объяснено в разд. 6.1, присуща корреляционным операциям. Поэтому определенными преимуществами обладают детерминированные сигналы, имеющие заданную корреляционную функцию — псевдослучайные двоичные последовательности Одно из первых сообщений об оценке динамики объекта таким методом содержится в статье [1]. Здесь генерирование и умножение двоичных тестсигналов осуществляется с помощью кодирующего диска. Вскоре было замечено [27], что так называемые последовательности максимальной длины -последовательности), генерируемые регистрами сдвига с обратной связью, обладают желаемыми

Фиг. 10.13.

Фиг. 10.14.

корреляционными характеристиками. Они обладают следующими свойствами:

а) Корреляционная функция этих сигналов, определяемая по целому числу периодов, не содержит элемента случайности (неопределенности).

б) Их легко генерировать с помощью цифровых устройств (см., например, фиг. 10.13).

в) Более того, легко генерируется сигнал с задержкой на любое целое число тактовых импульсов 0, задающих масштаб времени.

г) Период последоватслхлгости легко измепять в соответствии с формулой где число разрядов используемого регистра сдвига. В работе [26] приведены схемы обратных связей для таких регистром сдвига вплоть до

д) Мощность последовательности равна

е) Амплитуда постоянного тока последовательности равна только следовательно, при больших вряд ли возникнут отклонения от нормальных условий эксплуа тации объекта.

ж) Корреляционная функция показана на фиг. 10.14; соответствующим выбором и можно достичь хорошего приближения к функции Дирака.

з) Сигнал, припимагощии значения , можно подавать на самые разнообразные объекты. Такие сигпалы обладают наибольшей мощностью среди сигналов, ограниченных по амплитуде.

Свойства этих сигналов подробно обсуждаются в [13]. Недостатком, связанным с периодическим характером этих сигналов, является то, что их корреляционная функция с необходимостью оказывается периодической.

Проиллюстрировать все эти особенности удобпо на простом примере (фиг. 10.15). В таблице приведены состояния регистра сдвига, соответствующие моментам времени задаваемым тактовыми импульсами. Если состояние каждого элемента а регистра преобразуется в тест-сигнал в соответствии с соотношениями , то в результате получается функция Сигналы отличаются от сдвигом на один и два такта соответственно. Непосредственным умножением легко вычислить значения корреляционной функции в точках Можно показать, что в каждом таком интервале корреляционная функция получается линейной интерполяцией между значениями в крайних его точках. Малые отрицательные значения корреляционной функции обусловлены тем, что среди возможных состояний есть одно неиспользуемое, а именно (0, 0, 0). Следовательно, при усреднении по членам последовательности остается один иескомпепсированный положительный элемент. Выходом может служить выбор немного отличающихся амплитуд положительного и отрицательного импульсов, что приводит к корреляционной функции, показанной на фиг. 10.16.

Другим аспектом, который также можпо отнести к недостаткам, является отсутствие свободы при распределении мощности сигнала по частотному диапазону. Благодаря треугольной форме корреляционной функции спектр имеет огибающую вида (фиг. 10.17)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Из-за периодичности корреляционной функции с периодом спектр состоит из линий, отстоящих друг от друга на расстоянии В качестве упражнения читателю предлагается определить по либо вычислением коэффициентов ряда Фурье периодической функции, либо исходя из формулы

где означает операцию свертки, которой соответствует умножение в частотной области. Следовательно (фиг. 10.18),

Поэтому имеется большая свобода в определении полосы частот тестсигнала (выбором частоты тактовых импульсов регистра сдвига генератора -последовательности) и частотного разрешения спектра (выбором т. е. длины регистра сдвига и структуры обратной связи).

Использование -последовательностей в качестве тестсигналов аналогично использованию большого числа синусоидальных компонепт и измерениям на всех частотах одновременно.

Виды ошибок при использовании m-последовательностей в качестве тестсигналов

Важным аргументом в пользу выбора -последовательностей является форма их корреляционной функции. Она может аппроксимировать -функцию Дирака (корреляционную функцию белого шума), что позволяет отказаться от решения уравнения свертки при отыскании значений весовой функции объекта. Будем исходить из

(кликните для просмотра скана)

точного соотношепия между корреляционными функциями

и сравним результаты получающихся аппроксимаций. Можно различать следующие разновидности источников ошибок [36]:

а) периодичность сигналов;

б) постоянную составляющую сигналов;

в) применение сигналов, отличных от белого шума (с ограниченным спектром);

г) аддитивный шум;

д) ошибки измерений и устройств сопряжения.

а) Периодичность сигналов. Поскольку -последовательности периодичны, их корреляционные функции также обладают свойством периодичности. Поэтому при определении весовой функции объекта нужно быть уверенным, что при где период последовательности. В противном случае сказывается влияние дополнительных составляющих, вызванных другими пиками Следовательно, этот метод нельзя использовать для объектов, включающих операцию интегрирования.

При использовании -последовательностей в качестве входных сигналов объекта для оценивания по методу наименьших квадратов следует помнить, что, несмотря на их периодичность, матрица должна быть невырожденной, т. е. ее столбцы не должны быть зависимыми.

б) Постоянная составляющая сигналов. Постоянная составляющая тестсигналов приводит к появлению постоянной составляющей в корреляционпой функции а именно которая влияет на взаимпую корреляционную функцию. Для исследования этого влияния представим в виде суммы двух частей: треугольных функций с площадью и постоянного члена Последний член дает вклад во взаимную корреляционную функцию

Если при то эту составляющую можно выделить из при больших положительных и малых отрицательных значениях Это указывает способ устранения рассматриваемой составляющей ошибки.

в) Применение сигналов, отличных от белого шума (с ограниченным спектром). Использование таких сигналов стимулировалось видом их корреляционной функции, которая может аппроксимировать функцию Дирака. Насколько хорошим оказывается приближение, зависит от конкретной ситуации. Поскольку «тонкая структура» передаточной функции обусловливается наименьшими постоянными времени исследуемого объекта, можно считать приемлемым выбор

Величина ошибки, конечпо, зависит от особенностей реальной задачи, в частности от вида весовой функции исследуемого объекта.

г) Аддитивный шум. Благодаря детерминированной природе рассматриваемых тестсигналов внутренняя статистическая неопределенность отсутствует. Исследование же неопределенности, связанной с аддитивным шумом, проводится так как и в предыдущих случаях. Можпо показать, что дисперсия ошибки оценки, возникающей из-за аддитивного шума, равна

где дисперсия шума, (целое) число периодов последовательности, в которых осуществляются корреляционные измерения с формулой (6.63)]. Этот случай обсуждается в [7].

д) Ошибки измерений и устройств сопряжения. В работе [17] исследуются ошибки, вносимые конечностью передаточных функций устройств сопряжения, используемых для подачи -последовательностой на объекты.

Основываясь на изложенных соображениях, нужно выбрать параметры сигнала Поскольку сигнал двоичный, операция умножения в таких корреляторах реализуется просто. Кроме приборов, созданных с этой целью во многих лабораториях, и небольших ЭВМ, можно использовать по крайней мере один серийный прибор такого типа (автоматический сервотестер).

Важным обобщением является использование таких тостсигналов для систем с несколькими входами и выходами. Если имеется входов и выходов, объект можпо охарактеризовать весовыми функциями.

Можно показать, что корреляционные методы, описанные выше, применимы и в этом более общем случае и что весовая функция соответствующая входу I и выходу находится из уравнения

при условии, что и остальные входных сигналов статистически независимы. Если это условие не выполняется, получается система иптегральных уравнений, достаточно трудная для решения. Условие независимости функций можно заменить более слабым условием ортогональности на интересующем нас интервале (который для объектов, включающих операцию интегрирования, может оказаться бесконечным).

Можно показать, что взаимная корреляционная функция двух -последовательностой с одинаковым 9 и взаимно простыми периодами может быть пренебрежимо малой для всех значений времени, если только корреляция вычисляется по интервалу Более подробная информация по использованию этих тестсигналов содержится в работах [13, 17, 251.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)