4.2. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

На фиг. 4.2 показаны связи между различными типами описания систем, функционирующих в непрерывном времени. Показаны также несколько видов тестовых проверок и дана информация, которую можно получить с помощью тестов. В последующих разделах некоторые из этих связей изучаются более детально.

Непрерывные детерминированные сигналы

Описание «вход — выход». В соответствии с принципом суперпозиции динамика линейного объекта может быть описана специальными функциями времени: импульсной переходной функцией или весовой функцией и (или) реакцией на единичный скачок. Эти функции являются решениями дифференциального уравнения (4.1) при нулевых начальных условиях равной соответственно

(кликните для просмотра скана)

и

Физически любая функция времени формально может быть представлена как комбинация таких импульсов или скачков. Это приводит к интегралу свертки, который для случая постоянных коэффициентов и нулевых начальных условий может быть записан в виде

Если и

поэтому называется весовой функцией. Условием физической реализуемости является для т. е. отклик не должен опережать воздействие. Это условие уже было использовано при выборе пределов интегрирования в (4.6).

Для определения вместо решения дифференциального уравнения при и можно также воспользоваться следующей процедурой. Рассмотрим выражение (4.6) как предполагаемую модель. Дифференцируя это выражение, найдем все производные, которые входят в уравнение (4.1). Подставляя эти производные в (4.1) и приравнивая коэффициенты, получим выражение для

Пример. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого порядка

где

Используя правило Лейбница получим

Выражения для подставляются в дифференциальное уравнение. Так как полученное уравнение должно быть справедливо для всех и произвольного то соответствующие члены в левой и правой частях уравнения должны быть равны:

Последнее уравнение также должно быть справедливо при любой функции и Отсюда следует, что

Объединяя (4.7) и (4.8), получим

Таким образом, мы получили известный результат, не используя понятие импульсной функции Также рассматривается случай

Описание в пространстве состояний. Понятие состояния играет важную роль в современной теории систем и теории управления [16, 54, 65]. В табл. 4.1 представлены известные соотношения, характеризующие связь между

(см. скан)

(см. скан)

Фиг. 4.3.

представлениями состояний во временной и частотной областях. Помехи (шумы) здесь не учитываются.

Уравнения выходного сигнала и состояния системы схематически представлены на фиг. 4.3, где возможные помехи обозначены через Используются следующие обозначения: А — матрица системы, В — распределительная матрица, С — выходная матрица или матрица наблюдений, матрица вход — выход, входной шум, шум измерений. Пренебрегая действием помех непосредственно получим решение уравнения состояний

Определение экспоненциальной матричной функции см. в приложении В. Интегрирование по дает

или

Понятие «состояние» тесно связано с понятием «тип колебаний» или «гармоника». Для иллюстрации рассмотрим систему однородных уравнений

здесь А — матрица размерности . Уравнение (4.10) имеет решение вида

Вместо этого решения можно попробовать найти такие начальные условия, когда возбуждается одна и только одна гармоника, т. е. когда

Подстановка в уравнение (4.10) дает

или

Ненулевое решение этой системы алгебраических уравнений существует только в том случае, когда определитель равен нулю, т. е. когда

Корни этого алгебраического уравнения называются характеристическими или собственными значениями. Допустим, что все различны, тогда каждому собственному значению соответствует характеристический, или собственный, вектор являющийся решением уравнения (4.11). В табл. 4.2 приведен простой пример. Если все собственные значения различны, то можно выбрать такую систему координат, в которой система дифференциальных уравнений состояний распадается на независимые уравнения. Случай кратных собственных значений и обобщенных собственных векторов рассмотрен в работе [20].

Докажем эквивалентность матрицы переходов из табл. 4.1 и формально полученного решения для примера из табл. 4.2. Используя теорему Кэли — Гамильтона [20, стр. 121] для объекта 2-го порядка с

(см. скан)

различными собственными значениями, можно записать

где должны быть определены. Для этого по теореме Кэли — Гамильтона вместо матрицы А используются ее собственные значения

Отсюда следует, что

Таким образом,

что совпадает с из табл. 4.2.

Выборочные детерминированные сигналы

Для описания динамики объектов, которые характеризуются выборочными значениями входных и выходных сигналов, вместо дифференциальных уравнений можно воспользоваться разностными уравнениями. Естественно, это возможно в случаях:

1) использования определенной измерительной техники (например, при относительно медленном химическом анализе);

2) измерения и (или) передачи информации по каналам связи с использованием принципа разделения времени;

3) использования устройства для сжатия или передачи Цифровой информации;

4) когда информация имеет дискретный характер (как, например, в экономике).

Другие применения связаны с использованием выборочных значений непрерывных процессов и сигналов для упрощения модели. Для выборочных сигналов можно привести схему, аналогичную схеме на фиг. 4.2. В этом случае используются разностные уравнения, отклик на единичный импульс и z-преобразование. Отметим, что данное рассмотрение ограничивается ситуацией, когда как входной, так и выходной сигналы представлены в импульсной форме [16].

Описание «вход — выход». Обозначим через и и выборочные значения входного и выходного сигналов соответственно. Тогда разностное уравнение может иметь следующий вид:

Необходимо задать начальные условия. Как и прежде, коэффициент может быть выбран произвольно, например [Отметим, что разностное уравнение можно было бы записать через

Снова рассматривается случай линейной системы с постоянными коэффициентами. В силу линейности справедлив принцип суперпозиции, поэтому динамика объекта может быть описана весовой функцией реакцией на единичный импульс. Интеграл свертки заменяется суммой:

Выражение для получается так же, как и в непрерывном случае.

Пример. Рассмотрим простое разностное уравнение

Из уравнения (4.14) имеем

Эхо уравнение справедливо для любых последовательностей и поэтому

Решение этой системы уравнений имеет вид

Для устойчивых объектов, если при достаточно ограничиться лишь конечным числом значений весовой функции. Таким образом,

В этом случае поведение системы характеризуется набором величин

Введем оператор сдвига во времени

и

Тогда разностное уравнение (4.13) мояшо переписать в виде

(см. скан)

Обе ласти этого уравнения можно разделить на Первые значений у предполагаются равными нулю. Из уравнения (4.15) следует, что

Величину называют импульсной (выборочной) передаточной функцией. Выполняя деление, находим

где те же, что и в формуле (4.14).

Описание в пространстве состояний. Вместо разностного уравнения (4.13) можно использовать векторное разностное уравнение. В табл. 4.3 сопоставлены представления во временной области и -преобразования моделей объектов. Непосредственное решение уравнения состояний во временной области не вызывает затруднений:

В результате получаем

В табл. 4.4 приведен простой пример.

Случайные сигналы

В принципе методы, изложенные в предыдущих разделах, могут быть использованы и для описания случайных сигналов. Текущее значение случайного сигнала не представляет особого интереса. Гораздо важнее знать такие статистические характеристики и параметры, как спектральная плотность, математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция и т. д. (см. приложение Б и разд. 3.4).

Пусть на вход системы поступает сигнал и а на выходе наблюдается сигнал Эти сигналы связаны

(см. скан)

интегралом свертки

где

Найдем первый момент, усреднив по ансамблю (взяв математическое ожидание) обе части уравнения (4.18),

т. е.

или в общем случае нестационарного случайного процесса

Если стационарный случайный процесс, то

Если стационарный процесс центрирован то

Для отыскания второго момента умножим обе части уравнения (4.18) на взяв математическое ожидание от обеих частей, получим

для общего случая нестационарного случайного процесса имеем

а для стационарного случая

Просматривая полученные формулы, приходим к соотношениям

которые можно представить следующей диаграммой:

Отметим, что при

Используя преобразование Лапласа, находим, что в частотной области

Эти соотношения можно отобразить следующей диаграммой:

Весовую функцию системы можно определить, решив уравнение свертки при известных автокорреляционной и взаимной корреляционной функциях входного и выходного сигналов. Однако, вообще говоря, это далеко не простая задача (см. разд. 8.1).

Вместо весовой функции объект можно охарактеризовать временными моментами весовой функции, определяемыми по формуле

Момент представляет собой площадь под графиком весовой функции и равен статическому коэффициенту усиления объекта; первый момент весовой функции относительно оси можно интерпретировать как среднее время запаздывания а именно

момент инерции весовой функции относительно оси можно интерпретировать как дисперсионное время

Передаточную функцию можно разложить в ряд:

Если этот ряд сходится, то передаточная функция полностью характеризуется своими моментами [23]. Передаточную функцию можно также определить по спектральным плотностям: