12.2. ФИЛЬТР КАЛМАНА — БЬЮСИ

Фильтр Калмана позволяет получить решение рассмотренной выше задачи, сформулированной, однако, в пространстве состояний. В отличие от метода Винера фильтр Калмана легко распространяется на случай нестационарных сигналов [8, 9].

Обычно фильтр является нестационарным. Кроме того, фильтр Калмана имеет рекуррентную форму, благодаря чему он удобен для программирования на цифровых машинах. Новые оценки получаются корректировкой старых на основе новых наблюдений; нет необходимости хранить весь массив наблюдавшихся данных, и, следовательно, требования к памяти и машинному времени оказываются довольно скромными. Даже если нас интересуют случайные сигналы в «чистом» виде, полезно рассматривать эти сигналы как получающиеся из белого шума с помощью так называемых формирующих фильтров. В дальнейшем такие фильтры будут также называться объектами. В общем случае динамику объекта можно описать уравнениями

(фиг. 12.2). Для линеаризованного объекта они сводятся к

(фиг. 12.3). Функциональная связь между переменными состояниями и другими сигналами предполагается известной, включая и числовые значения параметров. Основываясь на наблюдениях у в течение интервала времени нужно найти оценку Как и раньше, возможны три случая: задача предсказания; задача фильтрации; задача сглаживания. В соответствии с изложенным в гл. 5 задачу можно решать, используя байесовский подход, оценивание по максимуму правдоподобия или метод наименьших квадратов. Здесь мы придерживаемся первого подхода как наиболее общего.

Опять исчерпывающую со статистической точки зрения информацию дает плотность условного распределения вероятностей где у — наблюдавшиеся реализации выхода объекта. Как и в гл. 5, с помощью этой плотности вероятности можно получить разные оценки. По правилу Байеса

(кликните для просмотра скана)

можно, используя априорную информацию об х и результаты наблюдений у, определить новую (апостериорную) плотность вероятности для х. Это естественным образом приводит к итерационной процедуре оценивания, когда результат предыдущего шага вычислений служит априорной информацией на следующем шаге, где используются новые наблюдения. Рассмотрим сначала простой одношаговый фильтр, а затем перейдем к его многошаговому варианту.

Одношаговый фильтр

Дана следующая априорная информация: объект (фиг. 12.4);

гауссовская плотность, гауссовская плотность, независимы. На основе этой информации легко получить плотность вероятности у, хотя в действительности она нам не нужна: гауссовская, поскольку

Запишем теперь формулу для

Сюда можно подставить выражения для всех рассматриваемых плотностей вероятности. Затем нужно выбором

Фиг. 12.4.

функции штрафа определить вид требуемой оценки. В гл. 5 уже указывалось, что в случае гауссовского распределения использование любой четной функции штрафа и максимизация плотности вероятности приводят к одним и тем же оценкам. Мы рассмотрим максимизацию плотности распределения.

Для упрощения вычислений полезно заметить, что полностью определяется априорной информацией. Поэтому ее можно рассматривать как часть нормировочной постоянной, и

Это выражение нужно максимизировать по х, что можно осуществить приведением к полному квадрату выражения под знаком экспоненты [1]. Другой способ заключается в приравнивании к производной

или

откуда получаются следующие формулы:

где

Эти выражения получаются применением матричных тождеств, приведенных в приложении В. Уравнения (12.10) представлены на фиг. 12.5. Здесь уместны следующие замечания:

а) у — единственная наблюдаемая величина, все остальные задаются заранее. Коэффициент усиления не зависит от наблюдений и его можно вычислить заранее.

Фиг. 12.5.

б) Легко показать, что и

Это равенство поясняет смысл формулы (12.11).

в) Укажем некоторые частные случаи, облегчающие понимание сущности метода.

При

Если существует то

При

Пример. Рассмотрим простой одномерный случай: — скаляры. При

Члены напоминают мощность сигнала и шума в задачах теории связи. Если сравнительно велико, то влияние незначительно.

Многошаговый фильтр

Дана априорная информация: уравнения объекта (фиг. 12.6, а

независимы.

Через обозначена оценка по к наблюдениям Такой же способ обозначений можно использовать и в задачах сглаживания и предсказания. В рассматриваемой задаче фильтрации достаточно ограничиться сокращенным обозначением При этом получаем

Можно также вывести выражение для плотности распределения хотя, как и прежде, оно нам не потребуется:

Из-за зависимости от требуется несколько более общая формулировка правила Байеса:

откуда

(кликните для просмотра скана)

Очевидна прямая аналогия с одношаговым случаем: одношаговый фильтр

многошаговый фильтр

и при гауссовских распределениях

Приравнивая производную логарифма этой функции к 0, получим для оптимальной оценки

откуда 1

Формула (12.23) соответствует (12.10в). Объект и фильтр изображены на фиг. 12.6. Обратите внимание, что часть фильтра подобна объекту.

Для сравнения с фильтром Винера укажем некоторые особенности фильтра Калмана:

а) Априорная информация о сигнале (и шуме) должна задаваться в пространстве состояний.

б) Уравнения фильтра имеют рекуррентную форму и хорошо подходят для цифровых вычислительных устройств.

в) Алгоритм фильтрации одновременно представляет собой непосредственное описание способа реализации фильтра.

г) Легко распространяется на нестационарные сигналы; это относится и к случаю, когда наблюдения начинаются в произвольный момент времени.

д) Распространение на многомерный случай не представляет труда. Из обширной литературы упомянем работы [13, 18].

Если в модель добавляется доступный измерению векторный входной сигнал и (к):

то таким же способом можно получить

где заданы. В этой схеме

экстраполированное состояние;

наблюдение, соответствующее экстраполированному состоянию;

невязка меяеду наблюдавшимся и предсказанным значениями;

априорное значение ковариационной матрицы основанное на к наблюдениях;

апостериорное значение ковариационной матрицы основанное на к наблюдениях. Наконец, шум объекта может быть отличным от белого и иметь вид где снова белый шум.

Можно сделать еще несколько замечаний, аналогичных приводившимся выше.

а) Коэффициент усиления не зависит от наблюдений и может вычисляться заранее для всей процедуры оценивания сразу.

б) В одномерном случае при

в) Зависимость от времени, например, матрицы А но вносит принципиальных изменений, по крайней мере в в том случае, когда эта зависимость полностью известна.

г) Сравнение рекуррентных уравнений фильтра Калмана для оценивания состояния с полученными в разд. 7.1 рекуррентными уравнениями для оценивания параметров обнаруживает их близкое соответствие. Исследование связи между этими методами можно найти в работе [3].

д) Оценка линейна относительно наблюдений. Это связано с предположением о нормальности распределения рассматриваемых случайных величин. В этом случае рассматриваемый фильтр оптимален в смысле метода наименьших квадратов. При отличных от нормального распределениях получается фильтр, оптимальный в классе линейных фильтров.

Уравнения фильтра можно получить не только исходя из байесовского подхода к оцениванию, как это сделано выше, но и другими способами. Рассмотрим простейший случай. Допустим, что наблюдения задаются уравнением

Нужно найти оценку

линейную относительно наблюдений и минимизирующую Дифференцируя до получаем необходимые условия

Эти уравнения задают так называемые условия ортогональности, требующие, чтобы ошибка оценки была

ортогональна наблюдениям. Из системы уравнений (12.31) мояшо определить коэффициенты задающие фильтр. Подобные условия ортогональности можно непосредственно получить и для более общих и сложных случаев. Основываясь на этих выражениях, можно вывести уравнения фильтрации для различных задач.

Уравнения фильтрации мояшо рассматривать также, учитывая аналогию между структурами объекта и фильтра (модели). Эта аналогия уже обсуждалась для случая винеровской фильтрации [20]. Такая точка зрения использована в теории «наблюдателя»

В предыдущих разделах методы оценивания состояния рассматривались для простых случаев линейного объекта и гауссовского шума. Эти методы, применимы и для нелинейных объектов, если осуществить линеаризацию в окрестности известного приближенного решения уравнений объекта. В результате получаются уравнения (12.3) и (12.4), причем последнее можно использовать вместо нелинейного уравнения, если матрицы составлены из частных производных, соответствующих приближенному решению.

Другой подход называют расширенным фильтром Калмана. В этом методе используется линеаризация относительно наилучшей оценки х вектора состояния (и измеряемого входного вектора и при его наличии). Если, например, объект описывается уравнениями

то уравнения фильтра можно записать в виде

где, как и раньше,

является наилучшей оценкой по к наблюдениям.

Раньше уже отмечалась тесная связь между рекуррентными уравнениями для оценивания параметров и

состояния. Для линейного относительно параметров объекта эту связь легко продемонстрировать. Пусть объект описывается соотношением

Следовательно, уравнения объекта и наблюдений имеют вид

где

При этом задача оценивания параметров может непосредственно решаться с помощью алгоритмов фильтрации, приведенных в этой главе.