8.6. ДИСПЕРСИОННЫЕ ФУНКЦИИ; ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА

Из предыдущих разделов видно, что корреляционные методы хорошо применимы для идентификации линейных объектов. Это объясняется следующими причинами: для

линейных объектов гауссовскому входу отвечает гауссовский выход; статистические свойства (эргодических) гауссовских случайных процессов исчерпывающе характеризуются авто- и взаимными корреляционными функциями (второго порядка).

С нелинейными объектами дело обстоит намного сложнее. Дифференциальная аппроксимация и связанные с ней методы применимы для оценки параметров, если модель можно сделать линейной по параметрам и схема идентификации не искажается шумом. В соответствии с изложенным в разд. 8.5 при винеровском подходе k. идентификации используются корреляционные функции высших порядков.

Пример. Для иллюстрации трудностей, возникающих при попытках идентифицировать нелинейный объект, рассмотрим следующую форму связи между входом и и выходом

Если, например, и эргодический гауссовский случайный сигнал с , то взаимная корреляционная функция, как легко видеть, равна нулю:

поскольку под интегралом стоит произведение четной и нечетной функций. Несмотря на функциональную зависимость между и у, взаимная корреляционная функция никак не указывает на ее наличие.

Избежать некоторых из этих трудностей позволяют дисперсионные методы, использующие математическое ожидание, корреляционные и дисперсионные функции. Изложение метода и его применений можно найти в работе [27].

Определения дисперсионных функций [25, 26]. Взаимной дисперсионной функцией действительных

случайных процессов называется функция двух переменных

где условное математическое ожидание процесса относительно и

Если известны соответствующие плотности распределения, дисперсионная функция определяется формулой

где плотности распределения и и соответственно, а условная плотность относительно и

Автодисперсионная функция действительных случайных сигналов (процессов) и определяется как

При известных плотностях распределения автодисперсионная функция определяется соотношениями, аналогичными (8.97). Автодисперсионная функция является количественной характеристикой случайного процесса, подобной автокорреляционной функции и характеризует внутреннюю структуру процесса и Взаимная дисперсионная функция подобно взаимной корреляционной функции является мерой связи случайных процессов и и В практических задачах нормированные значения дисперсионных функций используются для сравнения с нормированными корреляционными функциями. Нормированная автодисперсионная функция определяется как

где дисперсия.

Нормированной взаимной дисперсионной функцией называется функция

В случае, когда независимы, функция равна нулю, и если то и Если и независимы, то При (детерминированной) функциональной зависимости между справедливы равенства Если взаимная дисперсионная функция или нормированная взаимная дисперсионная функция случайных процессов, равна нулю для определенных значений аргументов и то случайные величины и называются недисперсированными. Этот термин соответствует понятию некоррелированности в линейном случае. Если случайные величины не дисперсированы, то они также и не коррелированы. Однако обратное не верно. Укажем некоторые свойства дисперсионных функций:

1) Дисперсионные функции неотрицательны:

2) С помощью неравенства Шварца можно показать, что

3) Из свойств 1) и 2) следует, что

4) В общем случае взаимная дисперсионная функция и нормированная взаимная дисперсионная функция несимметричны:

5) Нормированная взаимная дисперсионная функция не меньше абсолютной величины нормированной

взаимной корреляционной функции

Равенство имеет место только в линейном случае.

Во многих задачах требуется найти регрессию величины их в произвольныймомент на значения для произвольных Связь между характеризует множественная дисперсионная функция

Аналогично определяется нормированная множественная дисперсионная функция

Примем в качестве меры нелинейности линии регрессии среднеквадратическое отклонение этой линии от прямой, минимизирующей величину этого отклонения. Определим степень нелинейности регрессии на как

Минимум в этой формуле достигается при

и

Подставляя и в формулу (8.103), можно получить следующее выражение для квадрата степени нелинейности:

Примеры. Для иллюстрации этих идей полезно рассмотреть несколько примеров. Для упрощения обозначений аргументы и в примерах опущены.

а) независимы (фиг. 8.22, а).

б) и связаны линейной статистической зависимостью (фиг. 8.22, 6).

в) у и связаны линейной функциональной зависимостью (фиг. 8.22, в).

г) связаны квадратичной статистической зависимостью (фиг. 8.22, г).

(кликните для просмотра скана)

д) ужи связаны квадратичной функциональной зависимостью (фиг. 8.22, д).

Пусть вход и и выход объекта — случайные функции. Свойства объекта можно охарактеризовать оператором

Коли и и доступны измерениям, задача идентификации состоит в отыскании оператора являющегося приближением к истинному оператору в соответствии с некоторым критерием. Возможным критерием является условие минимума математического ожидания функции потерь

Для квадратичной функции потерь минимум ее математического ожидания достигается при

Этот случай показан на фиг. 8.23. Используя обозначения и можно записать дисперсию выхода в виде

где

Фиг. 8.23.

При квадратичной функции потерь выражение для дисперсии выхода имеет вид

причем в первом слагаемом в правой части этого равенства легко узнать взаимную дисперсионную функцию. Дальнейшие сведения по этим вопросам читатель может почерпнуть из работ [4, 23, 24, 26].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)