ГЛАВА 4. МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ: ЛИНЕЙНЫЕ С ПОСТОЯННЫМИ И ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ, НЕЛИНЕЙНЫЕ

Значение математического описания отмечалось в гл. 1 В этой главе рассматриваются возможности выбора тех или иных моделей. Первый из признаков, по которому различают модели, — их линейность или нелинейность, а также является модель параметрической или непараметрической. Эти типы моделей рассмотрены в разд. 4.2. — 4.4. Для теории идентификации важны такие понятия, как управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость, рассмотренные в разд. 4.5. В разд. 4.6 основное внимание уделяется моделям, линейным по параметрам, тпироко используемым при оценивании, и каноническим представлениям, содержащим наименьшее число параметров.

4.1. КЛАССЫ МОДЕЛЕЙ

Описание поведения объектов с помощью дифференциальных уравнений заимствовано из классической механики. Рассматривается связь между входной величиной и выходом в виде уравнения

вместе с начальными условиями для Если в объекте имеется чистое запаздывание, то Один из коэффициентов можно выбирать произвольно, например

В линейном случае коэффициенты не зависят от и у и их производных. Если, кроме того, они не зависят

от времени, то получается уравнение с постоянными коэффициентами. Это наиболее простой случай. Если эти коэффициенты зависят от времени, то уравнение называется линейным уравнением с переменными коэффициентами, или нестационарнолинейным. Если какие-либо из или зависят от и, у или их производных, то объект называют нелинейным.

Основное отличие между линейными и нелинейными объектами состоит в том, что для последних не выполняется принцип суперпозиции. Согласно этому принципу, если выходной сигнал, обусловленный входом выходной сигнал, обусловленный входом то при подаче на объект сигнала на выходе наблюдается сигнал

В качестве иллюстрации можно привести следующий простой пример:

(см. скан)

В линейном случае сумма сигналов подчиняется тому же дифференциальному уравнению, что и исходные сигналы, в нелинейном случае это не так. Принцип суперпозиции выполняется относительно как начальных условий

(общее решение), так и входных сигналов (частное решение). Отметим, что принцип суперпозиции выполняется и для линейных уравнений с переменными коэффициентами. Однако в инженерном плане наличие переменных коэффициентов приводит к существенным отличиям. Поэтому случай линейных систем с переменными коэффициентами будет рассмотрен отдельно в разд. 4.3.

Трудности решения нелинейных дифференциальных уравнений хорошо известны, поэтому набор методов их решения довольно ограничен. Классические подходы к изучению подобных систем, такие, как метод фазовой плоскости или использование приближенной теории, мало что дают для решения задачи описания объекта. В разд. 4.4 в качестве возможного подхода к изучению одного класса нелинейных систем рассматриваются ряды Вольтерра.

Для объектов важно знать следующие зависимости: соотношение между входным и выходным сигналами и связь этих сигналов с переменными состояния объекта. Рассмотрим выражение, характеризующее связи первого типа:

где - аналитическая функция всех переменных и,

Так как это дифференциальное уравнение выражает неявно связь между входным и выходным сигналами, то нужно найти явное выражение как функции и Обозначим эту связь через

Оператор может быть функционалом, т. е. правилом, которое каждой функции в заданном интервале ставит в соответствие определенное число. Как видно из формулы (4.3), этот интервал может быть от до Рассмотрим оператор для ряда частных случаев [57].

1) . Это тривиальный случай линейной функциональной связи между объект не содержит инерционных элементов, запасающих энергию. Поэтому такие системы называют линейными системами без памяти. В этом случае функционал сводится

к линейной функции от и:

2) - константы. Из теории дифференциальных уравнений известно, что может быть заийсана в виде функционала

Объект содержит инерционные элементы, играющие роль памяти, так что имеется зависимость от предыдущих значений и (линейные системы с памятью). Один из способов определения весовой функции или импульсной переходной характеристики по виду дифференциального уравнения состоит в использовании преобразования

Другой подход к определению рассмотрен в разд. 4.2.

3) Между входом и выходом имеется нелинейная связь (например, усилитель в режиме насыщения; мы ограничимся рассмотрением случая монотонной функции). Функционал вновь сводится к функции

Эту функцию можно найти подстановкой, итеративным методом или разложением в ряд Тейлора. Для рассматриваемого примера имеем

Это выражение справедливо для и, принадлежащих области сходимости. Хотя неявно связь задавалась очень простым уравнением, явное выражение оказалось достаточно громоздким. В некоторых случаях следует предпочесть графическое решение [42].

4) - константы. Это уравнение описывает поведение нелинейного

Фиг. 4.1.

динамического объекта, изображенного на фиг. 4.1 (нелинейные системы с памятью). Предполагается, что нелинейная часть безынерционна, что исключает нелинейности гистерезисного типа. В разд. 4.4 будет показано, что в этом случае можно записать следующее явное выражение для (ряд Вольтерра):

Эти примеры могут служить иллюстрациями при обсуждении возможных применений, моделей [43]. В работе [43] вводятся понятия «описание в функциональном пространстве» и «описание в пространстве параметров». В первом случае используется идея преобразования, определенного на функциональном пространстве, в котором можно описывать входной сигнал объекта. На фиксированном интервале времени сигнал представляется одной точкой функционального пространства (например, гильбертова пространства). Можно также получить представление сигнала, используя «скользящий» интервал на временной оси; этому случаю соответствует кривая в функциональном пространстве. Примерами таких

представлений могут служить разложение в ряд Фурье, разложение по прямоугольным сигналам, разложение в ряд но функциям Лагерра. Преобразование в функциональном пространстве определяется динамикой объекта. Выходной сигнал объекта можно описать в таком пространстве или представить точкой в одномерном пространстве уровней сигнала. В этих терминах задача оценивания состоит в том, чтобы определить преобразование функционального пространства входных сигналов в функциональное пространство выходных сигналов. Этот подход относится к методам, использующим идею черного ящика, так как не учитывает информацию о физической природе объекта, о его гипотетической модели.

Описание в пространстве параметров основано на предполагаемой математической модели динамики объекта. Такое описание представляет собой параметрическую модель конечной размерности. Координатам пространства параметров являются числовые значения величин, определяющих выход модели. Если, например, предполагаемое описание сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, то координатами могут быть значения коэффициентов и начальных условий. Если внешние силы отсутствуют, то, зная точку пространства параметров, можно предсказать поведение выходасистемы. При наличии внешних сил добавление неизвестных параметров этих сил увеличивает размерность пространства параметров. Размерность пространства остается конечной, тогда как при описании в функциональном пространстве пришлось бы в принципе добавить бесконечное число параметров. Таким образом, различают:

а) непараметрические модели, например весовые функции, передаточные функции, если заранее не задано число коэффициентов, ковариационные функции, спектральные плотности, ряды Вольтерра;

б) параметрические модели, в частности дифференциальные уравнения заданного порядка, модели в пространстве состояний.

Параметрические модели могут приводить к большим ошибкам, если порядок модели не соответствует порядку объекта. Преимущество непараметрических моделей состоит в том, что они не требуют явного знания порядка

объекта. Однако в этом случае описание является по существу бесконечномерным, а это часто означает возможность построения модели, выход которой точно повторяет выход объекта.

Интересное обсуждение взаимосвязи параметрических и ненараметрических моделей можно найти в литературе по анализу временных рядов (см., например, работы [24, 30, 41, 59]). Следует отметить, что окончательная оценка модели связана, конечно, с основной целью идентификации и предполагаемым ее применением. Исчерпывающее обсуждение динамических моделей можно найти в работе [40].

Несмотря на относительно большой объем этой главы, все же не удалось рассмотреть:

а) объекты с запаздыванием

б) объекты с распределенными параметрами [46].