1.4. ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Несколько простых примеров возможных задач представлено на фиг. 1.2, где и и входной и выходной сигналы объекта соответственно. Различие между схемами, изображенными на фиг. 1.2, а, б же, связано с наблюдаемостью входного сигнала, который может быть наблюдаемым точно, наблюдаемым в смеси с шумом и ненаблюдаемым [12]. Во всех случаях выход у искажен шумом. Необходимо извлечь информацию о параметрах и (или) состояниях из наблюдаемых сигналов и априорной информации о функциях плотности вероятности. Для случая систем, охваченных обратной связью, и многомерных систем могут применяться комбинации этих моделей. Возможные следствия будут рассмотрены в гл. 11.

Термин «объект» может использоваться в самом широком смысле и обозначать техническую систему (самолет, химический завод, коротковолновую линию радиопередач и другие каналы связи), биологическую систему (движение человека, медицинскую диагностику), а также экономическую и социальную системы.

Конечно, описание проблемы может быть осложнено несколькими обстоятельствами. Прежде всего возможны такие многомерные объекты, в которых каждый вход влияет на несколько выходов. В этом случае можно использовать векторное описание входного сигнала и выходного сигнала каждая компонента этих векторов представляет собой функцию времени, характеризующую входной или выходной сигнал. Другая трудность связана с тем,

Фиг. 1.2. (см. скан)

что шум может быть не только аддитивным, но и мультипликативным (например, не представляющее обычно интереса затухание или переменный коэффициент усиления).

В разд. 1.1 мы подчеркнули значение моделей. Задаче оценивания можно дать следующее схематичное описание. На объект и модель действует один и тот же входной сигнал. Сравниваются искаженный помехой выходной сигнал объекта и выходной сигнал модели. Необходимо определить оптимальный в заданном смысле способ корректировки модели. Значения параметров непосредственному наблюдению не доступны. Таким образом, критерием выбора оптимума должен быть функционал от выходных сигналов или от математического ожидания ошибок оценок параметров (см. разд. 2.3). Выходной сигнал

функционально связан с числовыми значениями параметров, Это приводит к усложнению алгоритмов оценивания и, вообще говоря, к необходимости использования вычислительных машин. Как уже указывалось, критерием часто является Скалярная функция потерь. Тогда естественно задать несколько вопросов:

1) Достигается ли минимум?

2) Существует ли единственное решение?

3) Связана ли единственность решения с выбором входных сигналов?

4) Если решение не единственно, то как выглядят модели, обеспечивающие одинаковую величину функции потерь, и как следует ограничить класс чтобы гарантировать единственность?

На некоторые из этих вопросов получены ответы для простого класса линейных систем, интерес к которым возник в связи с работами Беллмана и Острема в медицине [3].

В том случае, когда задача идентификации ставится как задача оптимизации, функция потерь выбирается особым образом; если же ставится задача оценивания, то используются другие предположения.

Часто критерий записывается как функционал ошибки, например

выход объекта, — выход модели, ошибка; рассматриваются как функции, определенныена Отметим, что этот критерий можно интерпретировать как критерий наименьших квадратов для ошибки

Будем говорить, что рассматривается выходная ошибка, если

где через обозначен выходной сигнал модели, на вход которой подается сигнал и. Это определение естественно только в том случае, когда единственной ромехой является белый шум измерений выходного сигнала фиг. 1.3, а).

Если

Фиг. 1.3.

где через им обозначен вход модели, выходной сигнал которой равен у, то говорят, что входная ошибка (фиг. 1.3, б). Обозначение предполагает, что модель обратима, т. е., грубо говоря, для заданного выхода всегда можно найти единственный входной сигпал 1). С точки зрения теории оценивания использование входной ошибки естественно тогда, когда помехи представляют собой белый шум на входе системы.

В общем случае ошибку можно определить как

где представляет собой обратную модель (фиг. 1.3, в). Этот тип модели и ошибки будем называть обобщенной моделью и обобщенной ошибкой [7]. Специальный вид обобщенной ошибки — так называемая ошибка уравнения — использован в работе [16].

Другой тип задач идентификации получается при вложении решаемой задачи в семейство вероятностных задач.

Если — параметрический класс, где параметр, то задача идентификации сводится к задаче оценивания параметра. Такая постановка делает возможным использование теории оценивания и теории принятия решений. В частности, можно использовать такие методы, как метод максимального правдоподобия, байесовские методы, минимаксные методы. Можпо задавать точность оценок параметров и проверять различные гипотезы.

Оказывается, однако, что многие вероятностные задачи оценивания можно свести к задаче оптимизации. Но в этом случае функция потерь определяется из вероятностных соображении. Заданной же функции потерь часто можно дать вероятностную. интерпретацию.

Теория оценивания тесно связана со статистической теорией оптимальных систем [17]. Задача оптимальной фильтрации (фиг. 1.4, а) относится к тому же классу, что и задача предсказания (фиг. 1.4, б и в); возможны комбинированные постановки задач. Она связана также с задачами адаптации и обучения [23—261. Задача становится еще более трудной, когда изучаемый объект двляется звеном контура регулирования. Фельдбаум [9] рассмотрел ситуацию, когда управляющее воздействие используется и двух целях:

1) для обучения или изучения характеристик объекта или способов управления объектом;

2) для повышения качества управления, приведения объекта в требуемое состояние.

Такое сочетание изучения и управления Фельдбаум предложил назвать дуальным управлением. Он показал, что иногда эти две функции разделяются в частотной или временной области. Однако такое разделение не является необходимым, Фельдбаум [9, 101 разработал общую теорию дуального управления. Он пишет: «В системах дуального управления возникает противоречие между двумя сторонами управляющего воздействия — изучающей И направляющей. Действительно, успешное управление возможно лишь при своевременном воздействии на объект. Запоздалое воздействие ухудшает процесс управления. Однако успешно управлять можно, лишь достаточно Хорошо зная свойства объекта. Но, чтобы их узнать вучше, необходимо много времени. Слишком «поспешная»

Фиг. 1.4. (см. скан)

управляющая часть будет производить направляющие действия без должного обоснования их полученной в результате изучения объекта информацией. Слишком «осторожная» система будет излишне долго выжидать, обрабатывая полученную информацию и но направляя своевременно объект к требуемому режиму. И в том и другом случае процесс управления может оказаться не наилучшим и даже неуспешным. Задача состоит в определении наивыгоднейшего в каком-либо смысле сочетания двух указанных выше сторон в управляющем воздействии. Воздействия следует подбирать так, чтобы какой-либо критерий

качества, приобрел наивысшее значение. Поэтому управляющая часть, принимая решение об определенной величине управляющего воздействия в данный момент времени, должна учитывать два фактора:

а) Потерю, происходящую в значении критерия качества вследствие того, что результат воздействия как в данный момент, так и в последующие вызовет отклонение объекта от требуемого или наилучшего возможного режима. Среднюю меру этой потери назовем риском действия.

б) Потерю, происходящую в зпачении критерия качества вследствие того, что значение управляющего воздействия в данный момент времени оказалось не наилучшим для получения информации о характеристиках объекта, в связи с чем последующие воздействия также оказываются не наилучшими из возможных. Среднюю меру такой потери назовем риском изучения».

Кроме того, представляет интерес связь между параметрами объекта и сигпала. Многие детерминированные сигналы, по крайней мере в принципе, можно получить как импульсную переходную характеристику или реакцию на скачок липейного или нелипейного фильтра. Многие случайные сигналы могут быть получены в результате фильтрации белого шума. Отсюда вытекает, что в подобных ситуациях характеристики сигнала можно выразить через параметры фильтра (объекта) и наоборот. Поэтому между параметрами сигнала и объекта существует тесная связь.