8.1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ

Общие свойства корреляционных измерений

Прежде всего целесообразно напомнить, что корреляционные методы применялись для широкого круга задач, в частности для исследования случайных сигналов, идентификации систем управления, обнаружения сигналов и в таких областях, как, например, связь, радиоастрономия, радарная и ультразвуковая техника, исследование промышленных объектов, технические измерения, исследование механических колебаний, сейсмология, акустика, исследования мозга. Хотя важность корреляционных измерений признается уже давно, прошло немало времени, прежде чем необходимые приборы стали общедоступными. Это можно объяснить относительной сложностью и высокой критичностью некоторых элементов коррелятора. В частности, это относится к цепям временной задержки, широкополосным умножителям и интеграторам с большими интервалами интегрирования. Внедрение цифровой и гибридной техники облегчило решение многих из указанных задач.

Корреляционные методы позволяют оценить неизвестный параметр по критерию минимума среднеквадратической ошибки (см. гл. 2). Это легко показать для непрерывных сигналов. Рассмотрим линейный стационарный объект стационарные сигналы (эргодические случайные процессы) и поставим задачу оценки весовой функции (фиг. 8.2). Благодаря линейности выходной сигнал описывается интегралом свортки

Сигналы и случайные; следовательно, также случаен. Стационарность и влечет стационарность для объектов с конечной «памятью» (конечным интервалом времени, на котором весовая функция отлична от нуля).

Корреляционный метод. Умножая обе части формулы (8.1) на и и применяя операцию математического

ожидания, получаем

или в обозначениях приложения Б для независимых имеем

Фиг. 8.2.

Уравнение (8.1) связывает случайные сигналы и и а уравнение (8.3) — детерминированные функции, описывающие важпыо свойства этих случайных сигналов.

Минимизация среднеквадратической ошибки. Необходимо определить оценку весовой функции Вновь рассмотрим усредненное по времени значение квадрата ошибки

где

Пусть функция минимизирует Тогда произвольную функцию можпо представить в виде

где произвольная функция, такая, что при По определспию при величина больше, чем при Следовательно,

или

Последнее условие можно переписать в виде

Ввиду произвольности заключаем, что

или

На практике корреляционные измерения проводятся на конечном интервале времени, и в результате получаются приближенные оцепки (отмеченпыо тильдой) истинных корреляционных функций. Используя условие эргодичности при получаем уравнение Винера — Хопфа

Сравните этот результат с формулой (8.3).

Исследуя можно убедиться, что при этом действительно минимизируется. Отметим, что на не накладывается никаких ограничений, кроме условия физической реализуемости объекта при

Определение по корреляционным функциям и (решение уравнения свертки) можно выполнить на аналоговых или цифровых вычислительных машинах как во временной, так и в частотной областях. Во временной области задача решается просто, если полоса частот и велика по сравнению с полосой пропускания объекта. В тех случаях, когда входной сигнал является практически белым, можно использовать следующую аппроксимацию:

откуда с учетом свойств -функции Дирака имеем

При этом взаимная корреляционная функция оказывается хорошим приближением для весовой функции объекта (фиг. 8.3).

Если входной сигнал нельзя считать белым, необходимо решать задачу определения из формулы (8.10). Один путь решения состоит в применепии настраиваемой модели таким образом, чтобы была ее выходным сигналом при входе (см. [6, 11, 12, 35]).

Другой подход основан на аппроксимации интограла в (8.10) суммой:

или, как показано на фиг. 8.4,

(кликните для просмотра скана)

В качестве примера перепишем уравнение (8.11) в матричном виде для трех выборочных значений весовой функции

Поскольку матрица симметрична.

Эта формулировка задачи близка к приведенной в гл. 6. Разумеется, нетрудно предлояшть другие лучшие приближения для интеграла свертки, используя, например, линейную интерполяцию в промежутках между выборочными значениями функций

Третий способ определения оценки для состоит в переходе в частотную область. Применение преобразования Фурье к равенству (8.10) позволяет получить формулу

откуда

По оценкам спектральных плотностей можно получить и оценку Практически вычисление изображений Фурье мояшо производить, например, известным численным методом быстрого преобразования Фурье (см. разд. 3.5).

Применение ортогональных фильтров

До сих пор обсуждение корреляционных методов велось в рамках практической реализации с использованием линий задержки. В этом, однако, пет необходимости. Другой интересный подход к определению операторов линейных динамических систем основан на использовании ортогональных фильтров [16, 17]. При этом удается обойтись без аналоговых линий задержки, остающихся

Фиг. 8.5.

по-прежнему дорогими и критичными компонентами коррелятора. Тем не менее оказывается возможным оценить весовую функцию. Исследование свойств ортогональности можно проводить и во временной и в частотной областях. Первый подход можно сравнить с рассмотренным в разд. 3.2. Здесь мы ограничимся рассмотрением в частотной области.

Принципиальная постановка задачи иллюстрируется на фиг. 8.5. Среднеквадратическая ошибка равна

где интеграл определяет обратное преобразование Фурье, а характеризуют динамические свойства объекта и модели Если не учитывать составляющей, вносимой шумом, правая часть последнего равенства представляет

собой квадрат разности взвешенный с весом Модель состоит из ряда фильтров

Коэффициенты ( должны «подстраиваться» таким образом, чтобы минимизировать Подставляя выражение (8.14) в (8.13), дифференцируя по и приравнивая результат нулю при получаем

или, заменяя интегралы символом I, имеем

Отсюда вытекает, что

Следовательно, зависит от всех других коэффициентов; после настройки каких-либо коэффициентов нужно корректировать снова. Это неудобство устраняется выбором

т. е. образуют ортонормальную систему относительно веса Тогда

Фиг. 8.6.

т. е. определяется явным выражением, и зависимость между значениями разных коэффициентов отсутствует. Фильтры должны быть ортонормальными с весом Если и — белый шум, то функция постоянна и в качестве весовых функций фильтров можно выбрать хорошо известные функции Лагерра (см. гл. 3 и фиг. 4.17).

Отметим, что числитель и знаменатель (8.19) не изменятся, если под интегралом добавить мнояштель при Следовательно, эти интегралы можно интерпретировать как обратные преобразования Фурье, т. е. как корреляционные функции (при значении аргумента

Эта процедура может быть реализована в соответствии с Фиг. 8.6.

Фиг. 8.7.

Статистические ошибки корреляционных измерений. Операция усреднения по бесконечному интервалу времени является, конечно, чрезвычайно непрактичной. В реальных приложениях приходится ограничивать время корреляции конечным интервалом Следовательно, мы вынуждены пользоваться оценками корреляционных функций и Эти экспериментальные корреляционные функции характеризуются отклонением (неопределенностью) относительно теоретических корреляционных функций.

При обсуждении этого вопроса воспользуемся фиг. 8.7, где х и у — эргодические стационарные случайные сигналы и ключ при закрыт. Начальное условие В приложении показано, что в этом случае

и если совместное распределение х и у гауссовское, то

где

Сравнивая фиг. 8.3 и 8.7, можно заметить следующее соответствие:

Отсюда

причем некоторые члены в этих выражениях исчезают, поскольку входной сигнал и шум предполагаются независимыми. В результате имеем

Аддитивный независимый шум не дает вклада в математическое ожидание. Выражение для можно записать в виде

причем

Составляющая присутствует, даже если аддитивного шума нет вообще; ее можно назвать внутренней статистической неопределенностью. Компонента представляет неопределенность, связанную с аддитивным шумом.

Это исследование статистических ошибок можно применить к экспериментально определяемым значениям корреляционной функции оцениваемым на конечном интервале времени

Внутреннюю статистическую неопределенность можно охарактеризовать отношением сигнала к шуму на выходе коррелятора

Таким образом, математическое ожидание выхода интегратора совпадает с истинным значением корреляционной Функции независимо от длины интервала наблюдения

Конечно, точность (дисперсия или стандартное отклонение) найденной оценки зависит от длины этого интервала. Выражение

может быть упрощено при больших когда вторым членом в правой части можно пренебречь, т. е. когда быстро стремится к нулю. При этом

Если при больших то

Пример. Рассмотрим измерение автокорреляционной функции в соответствии с фиг. 8.8 при и Белый шум имеет спектральную плотность передаточная функция RС-фильтра спектральная плотность сигнала есть корреляционная функция равна

Фиг. 8.8

Фиг. 8.9. (см. скан)

где Следовательно,

где

Обращаясь к фиг. 8.9, видим, что

Введем безразмерные величины тогда при

Рассмотрим частные случаи:

Следовательно, дисперсия измерений корреляционной функции обратно пропорциональна у. Так как это означает, что дисперсия уменьшается, если а (полоса пропускания фильтра) и (или) (интервал наблюдения) возрастают.

В приведенном выше примере отношение сигнал/шум при длинных интервалах корреляции равно

Можно задать, например, т. е. принять стандартное отклонение равным 5% от измеряемой величины. Отсюда при следует, что Другими словами, корреляционный интервал должен в 800 раз превосходить постоянную времени рассматриваемого фильтра. Однако этот достаточно длинный интервал приводит к небольшой точности даже при наиболее благоприятных значениях корреляционной функции При больших значениях т. е. при значениях корреляционной функции, соответствующих большим аргументам отношение оказывается значительно меньше. Необходимость в длинных корреляционных интервалах возникает только из-за внутренней статистической неопределенности. Заметим, что отношение не зависит от уровня входного сигнала коррелятора.

Неопределенность, связанная с возможным аддитивным шумом, накладывает еще более жесткие требования на время корреляции. Эта неопределенность имеет более простую природу и может быть выражена дополнительной «шумовой» компонентой в выходном сигнале коррелятора, а именно

где, согласно формуле (8.26),

Конечно, для этого вида ошибок отношение сигнала к шуму коррелятора линейно растет с увеличением уровня входного сигнала и. В качестве примера обратимся вновь к схеме на фиг. 8.8, предполагая теперь, что в один канал добавляется аддитивный шум. Пусть шум и сигнал имеют одинаковую ширину спектра, т.е.

Отсюда

и при больших у

Теперь отношение сигнала к шуму при больших интервалах корреляции оказывается равным

До сих пор рассматривалось определение лишь одного параметра, а именно одного значения весовой функции. Новые вопросы возникают при определении нескольких параметров. После оценивания одной величины ее оценка может считаться априорно известной в следующем цикле оценивания и т. д. Интуитивно ясно, что использование априорной информации позволяет строить более эффективные процедуры оценивания. Однако решающим становится вопрос о том, как такая информация может быть

Фиг. 8.10.

использована практически. Это осуществимо, если применять модель объекта, хорошо приспособленную для его параметрического описания, например, при исследовании весовой функции можно использовать линию задержки с отводами и потенциометрами. Фиг. 8.10 иллюстрирует этот случай [9].

Пример. Чтобы продемонстрировать особенности модели, соотношения (8.21) — (8.25) будут применены к достаточно простому примеру, а именно к объекту с весовой функцией

Рассмотрим определение одного значения этой функции, например при (фиг. 8.11, а), используя белый шум в качестве входного сигнала.

Если ключ на фиг. 8.10 открыт, этот метод совпадает с корреляционной схемой на фиг. 8.3. В этом случае для стандартного отклонения относительно ожидаемого значения

получим соотношение, представленное на фиг. 8.12 кривой а. Из этого графика можно определить корреляционный интервал, необходимый для достижения заданной точности (стандартного отклонения) оценки параметра.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Пусть теперь на фиг. 8.10 параметры от до уже оценены. Найденные значения используются для настройки соответствующих потенциометров; остальные потенциометры устанавливаются на нуль, и ключ закрыт. Настраиваемая часть модели, включая цепь фильтрации, имеет весовую функцию Изображенную на фиг. 8.11. Следовательно, сигнал ошибки определяется разностью между ; при этом в весовой функции подлежащий оценке параметр имеет свое исходное значение. Обращаясь теперь к формуле (8.25), можно заметить, что в данном случае индекс х должен быть заменен индексом . В результате соответствующие члены уменьшаются по сравнению с первоначальными значениями, что приводит к уменьшению дисперсии (или сокращению корреляционного интервала, необходимого для достижения прежнего значения дисперсии). Для рассматриваемого примера сокращение корреляционного интервала представлено кривой на фиг. 8.12; теперь то же самое значение стандартного отклонения достигается для корреляционного интервала, составляющего приблизительно одну десятую преяшей величины.

На фиг. изображен ряд практических реализаций выходного сигнала интегратора для указанных выше случаев; ключ открыт либо закрыт. Флуктуации характеризуют внутреннюю статистическую неопределенность коррелятора при отсутствии и наличии модели. Влиянием аддитивного шума пренебрегают; его можно учесть с помощью формулы (8.26).

Дальнейшее обсуждение вопросов точности корреляционных методов можно найти в работах [3, 8, 13, 19, 20, 30]. Обширная литература посвящена применениям корреляционных методов; только весьма малую ее часть можно привести в списке цитируемой (например, [1, 5, 14, 18, 27, 28, 37]) или дополнительной литературы. В настоящее время промышленность выпускает всего несколько типов корреляторов; некоторые из них оборудованы дополнительными устройствами, как измерители плотности вероятностей. Другой распространенный тип дополнительных приспособлений — устройство для применения преобразования Фурье к корреляционным функциям

и получения: спектральных плотностей. Нередко корреляторы позволяют одновременно определять ряд значений корреляционной функции (например, 50 или 100) с помощью параллельных вычислений. Разрабатываются также корреляторы с непрерывно меняющейся временной задержкой и соответствующими корректирующими фильтрами [2].