9.1. МОДЕЛИ, ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАМЕТРОВ

Обобщенная ошибка

В гл. 2 была определена обобщенная ошибка

где выходы динамических операторов.

Назначением устройства на фиг. 9.1 является настройка потенциометров таким образом, чтобы достигал минимума некоторый функционал от обобщенной ошибки. Некоторое положение потенциометра можно произвольно принять за эталонное, например При таком выборе

Как уже указывалось, существенной особенностью таких обобщенных моделей является линейная связь между и параметрами и Поэтому частные производные (функции чувствительности параметров, см. разд. 9.4) определяются очень просто:

Фиг. 9.1.

Следовательно, не нужно никаких дополнительных моделей для реализации уравнений чувствительности, и все функции чувствительности параметров можно получить из одной (обобщенной) модели.

Выберем пока в качестве критерия условие минимума квадрата ошибки на интервале длины Для устранения эффекта случайности применим операцию математического ожидания

Дифференцируя по параметрам, подлежащим определению, приходим к системе из уравнений

Символ введен для сокращения записи. В следующем разделе ему будет дана более глубокая интерпретация. В оптимальной точке все должны

быть равны нулю. Допустим теперь, что постоянны. Подставляя выражение для обобщенной ошибки (9.2) в уравнения (9.5а) и (9.56), можно получить

или в матричных обозначениях

Вектор с элементами и будем называть вектором градиента; вектор с элементами вектором параметров и вектор с элементами и — эталонным вектором.

Подобно тому как это делалось в гл. 6, можно установить следующие свойства матрицы М:

а) Из определения следует, что , значит, симметрична. Кроме того, элементы главной диагонали неотрицательны.

б) Элементы матрицы зависят лишь от входного сигнала объекта и линейных операторов модели; они не зависят от вектора коэффициентов, если (как предполагалось) этот вектор постоянен.

в) Каждая компонента вектора градиента зависит от всех параметров, что ведет к взаимной зависимости параметров.

г) Используя свойства ортогональности для определенных входных сигналов, можно добиться обращения в нуль некоторых элементов матрицы (см. гл. 3 и 4). I д) Если матрица невырожденная, то, умножая обе части равенства (9.6) на получим в правой части единичная матрица). Таким образом, если вычисление можно реализовать в схеме оценивания, то коэффициенты становятся взаимно независимыми.

В общем виде уравнение (9.6) записывается довольно громоздко. Следует, однако, помнить, что с помощью этого уравнения определяется не менее неизвестных коэффициентов. Более того, нетрудно понять, что при решении задачи нет необходимости определять все элементы матрицы явным образом. Использовать уравнение (9.6) можно двумя способами:

а) Положим Тогда формула (9.6) сведется к

Если матрица невырожденная, это уравнение разрешается относительно неизвестных элементов вектора 8, так как все элементы можно определить с помощью соответствующих процедур. В результате приходим к классу методов, связанных с применением явных математических соотношений (см. гл. 2) и подробно обсуждаемых в гл. 8.

б) Выберем оператор, связывающий вектор градиента с вектором параметров

и будем называть оператором политики или просто политикой. Подстановка выражения (9.8) в (9.6) дает

Правильный выбор позволяет получить соотношение

За исключением патологических случаев, это означает, что

где параметры объекта.

Вследствие принятого условия постоянства вектора коэффициентов оператор политики должен иметь прерывистое строение, т. е. предусматривать проведение измерений на интервале с постоянными коэффициентами, корректировку коэффициентов модели по истечении этого интервала в соответствии с результатами измерений, затем вновь измерения, вновь корректировку и т. д. Следовательно, обозначая через номер очередного цикла измерений и настройки, можно написать для вектора ошибки в конце интервала измерений соотношение

В следующем интервале настройки вектор коэффициентов изменяется в соответствии с формулой

где матрица с действительными элементами, характеризующая коэффициент усиления контура настройки. Для этого нового значения 8 на интервале измерений вектор ошибки определяется как

Эта процедура приводит к системе разностных уравнений. Выбрав оператор политики в виде

приходим к дифференциальному уравнению

Строго говоря, вывод этого уравнения некорректен, так как теперь — переменная величина, тогда как равенство (9.6) было получено в предположении постоянства 8. При достаточно медленной сходимости уравнение (9.13) все же позволяет приближенно оценить динамические свойства объекта. Практическая реализация этих соотношений представляет собой частный случай упомянутого в гл. 2 метода настраиваемой модели; настраиваемая модель осуществляет аппроксимацию характеристик объекта.

Если модель может достаточно полно описывать динамику объекта и шум отсутствует, то существует множество параметров для которых справедливо соотношение

Вычитание (9.14) и? (9.2) дает 5

Следовательно, ошибка линейно зависит от величин отклонений параметров модели от их оптимальных значений. Выбирая вновь в качестве критерия ошибки условие минимума (9.4), дифференцируя и используя обозначения (9.5а) и (9.56), получаем

или в матричной записи

где и имеют тот же смысл, что и в (9.8), а вектор с элементами вектор ошибок оценок параметров.

Как и раньше, можно использовать разные политики, например

т. е.

Отсюда следует векторное разностное уравнение

или

По-прежнему коэффициент усиления может зависеть от номера итерации Можно положить

откуда

или

где вектор ошибок при Поскольку матрица вещественная и симметричная, ее собственные значения вещественные. Поэтому, как следует из теории функций от матриц, при если все собственные значения положительные.

Выбор критерия ошибки и способы обработки информации

Допустим, что параметр объекта изменяется как произвольная неизвестная функция времени, а параметр модели изменения которого должны следовать за изменениями (отслеживать параметр объекта). Величины могут быть коэффициентами дифференциальных или разностных уравнений, передаточных функций (непрерывных или, дискретных). Они могут также задавать расположение нулей и полюсов передаточной функции, координаты или моменты весовой функции, координаты амплитудной и фазовой характеристик.

Ошибку, характеризующую расхождение динамических свойств объекта и модели можно определить многими способами. В качестве критерия можно использовать условие минимума

или какого-либо аналогичного выражения. Явное выражение для удается получить лишь в отдельных наиболее простых случаях. Кроме того, в реальных задачах функция не известна. Поэтому пользоваться критерием (9.20) удается только в модельных задачах. Вследствие этого используется другое определение ошибки: В качестве критерия можно рассматривать среднее значение квадрата, ошибки по тому или иному интервалу времени. Впрочем, имеется достаточная свобода в выборе критерия ошибки, например

Эти критерии имеют следующие названия: среднеинтегральная квадратическая ошибка, среднеинтегральная абсолютная ошибка, средневзвешенная квадратическая ошибка, средневзвешенная абсолютная ошибка. Интервал интегрирования в «скользящий» вдоль оси Другая возможность состоит в использовании заранее заданных на оси времени интервалов (прерывистые схемы). В производится взвешивание ошибки с помощью функций, придающих относительно меньший вес более старой информации, т. е. здесь «прошлое постепенно забывается». Этого можно достичь, применяя вместо интегратора низкочастотный фильтр с весовой, функцией при

Будем, как и прежде, для сокращения записи использовать угловые скобки, как в формулах (9.21). Дифференцирование (9.21) по позволяет по аналогии с (9.5)

получить

Разумеется, используемый критерий определяет форму практической реализации. Член (сиг-нум-функция) в формулах (9.22) приводит к двоичным операциям, например, умножение можно осуществить устройством типа реле, управляемым сигналом и переключающимся от

В гл. 3 приводилась классификация используемых сигналов. Названия непрерывные (на наш взгляд, лучше было бы говорить недискретные) и дискретные (или импульсные) относятся к способу представления аргумента рассматриваемых сигналов, т. е. к непрерывному или дискретному времени. По отношению к амплитуде функций времени можно различать аналоговые, квантованные и двоичные сигналы. При изучении изложенного в следующих разделах нужно помнить, что для каждого из упомянутых типов сигналов можно предложить ряд схем практической реализации.

Выбор динамических операторов

В предыдущих разделах ничего не было сказано об операторах являющихся частью обобщенной модели на фиг. 9.1. Очевидно, что от выбора этих операторов зависят свойства схемы оценивания параметров, например вид получаемой информации, скорость сходимости к решению, возможное смещение решения,

помехоустойчивость, возможности упрощения практической реализации с помощью соотношений ортогональности.

Ниже указаны некоторые возможные линейные операторы:

Использование последних двух операторов приводит к схеме фиг. 2.3, где модель уже не является обобщенной. В таких случаях сигнал можно назвать ошибкой, записанной в зависимых переменных, поскольку как у, так и зависят от входной переменной и.

Необходимо отметить, что, конечно, можно использовать и «смешанные» наборы операторов. Линейный оператор может включать также умножитель сигнала и (или подаваемого на один вход умножителя, на произвольную независимую функцию времени, подаваемую на другой вход. Это устройство может потребоваться при преобразовании компонент сигнала и (или к ортогональной форме.

Выбор линейных операторов зависит от полноты и простоты представления объекта. Кроме того, он определяется типом информации об объекте, которую требуется получить (например, информацией во временной или частотной области). Важно помнить, что достижение наилучшего в некотором смысле согласия с наблюдаемыми данными зависит от предположений, используемых при каждом конкретном способе описания модели. Часто также с трудом поддается анализу преобразование ошибок (неопределенности) при переходе от одного способа описания к другому.

В следующей таблице приводятся некоторые свойства различных типов моделей (см. также фиг. 2.13).

(см. скан)

Аналогичные соображения справедливы и для нелинейных моделей. Условие, согласно которому ошибка должна быть линейна относительно параметров, ограничивает выбор таких нелинейных динамических операторов некоторым специальным классом (см. гл. 5).

Помимо изложенного выше, представляется достаточно важным рассмотреть взаимозависимость настроек модели. Для минимизации взаимозависимости параметров молшо выбрать ортогональные фильтры в соответствии с разд. 3.2 и 3.3. При этом

Учет выражений для критерия ошибки и ошибки

приводит к следующему упрощенному соотношению:

или

т.е. теперь производная критерия по любому из параметров не зависит от остальных параметров. Оптимальное значение параметра, определяемое из условия

равно

Из формулы

следует, что остаточное значение критерия равно

Отсюда виден вклад каждого параметра модели в остаточное значение критерия. Это выражение можно использовать для оценки необходимого числа параметров модели. Увеличение числа параметров модели до те не влияет на оптимальные значения параметров

Пока остается открытым вопрос о том, как нужно выбирать весовые функции динамических систем, чтобы их выходные сигналы были ортогональны. Пусть желательно выполнение равенства

где

Отсюда следует условие

Итак, для преобразования и в ортогональные сигналы весовые функции динамических систем должны удовлетворять условию (9.26). Поэтому эти весовые функции зависят от характеристик входного сигнала. Для белого шума

так что взятие математических ожиданий приводит к простому условию

При произвольных входных сигналах определение весовых функций оказывается непростой задачей (см. разд. 3.2).

Очевидно, что при конкретных применениях одна ортогональная система сигналов может оказаться «лучше» другой. Под этим «лучше» может подразумеваться уменьшение числа членов, необходимых для аппроксимации (с заданной точностью) динамики объекта. Отсюда вытекает возмояшость настраивать отдельно некоторые параметры ортогональных фильтров таким образом, чтобы при заданном, числе фильтров - минимизировалась остаточная ошибка. Об ортогональных операторах для нелинейных моделей и моделей со многими входами и выходами см. гл. 4.