6.3. ТОЧНОСТЬ, НЕКОТОРЫЕ источники ОШИБОК

Для практики прежде всего важно выяснить источники ошибок. Различают следующие случаи: 1) ошибки, вызванные помехами;

2) ошибки усечения;

3) ошибки из-за неправильного определения состояния;

4) ошибки, связанные с упрощением при реализации;

5) ошибки выборочной аппроксимации.

Ошибки, вызванные помехами

Эти ошибки возникают из-за случайного шума и, который добавляется к выходному сигналу объекта. Допустим, что модель адекватна объекту (фиг. 6.5):

где векторы одной и той же размерности. Для этого случая уже получепо уравнение метода наименьших квадратов (6.53):

где

Отметим, что уравнение (6.61) дает полное описание ошибок из-за помех, основанное на априорной информации о свойствах шума и апостериорной информации (измерениях) о входном сигнале объекта и. По априорной и апостериорной информации экспериментатор может получить ясное представление о точности оценок и корреляции между ошибками разных компонент вектора оценок Если потребуется, можно построить машинную реализацию уравнения (6.61). Для пояснения основных идей рассмотрим несколько примеров при различных упрощающих предположениях.

Пример. Если помеха представляет собой белый шум и то

и

Если к тому же шум гауссовский, то оценка метода наименьших квадратов совпадает с оценкой максимального правдоподобия (см. гл. 5). Таким образом, оценка обладает всеми свойствами оценок максимального правдоподобия и, в частности, асимптотически нормальна со средпим и ковариацией, определяемой формулой (6.62).

Пример. Допустим теперь, что на вход объекта поступает стационарный белый шум с известными математическим ожидапием и ковариацией

Здесь оператор математического ожидания относится к стохастической переменной и. Снова рассматривается выборка длины k. Это приводит к следующей оценке:

Для каждого параметра стандартное отклонение (разброс) составляет

При к шготность вероятности стремится к -функции т. е. разброс стремится к нулю. Следует, правда, заметить, что из-за наличия операции извлечения квадратного корня сходимость достаточно медленная. Дисперсии и можно рассматривать как меру относительных «мощностей». Выражение для не зависит от числа оцениваемых параметров.

Другой способ определения ошибки, связанной с наличием аддитивных помех, состоит в следующем. Как видно из формулы (6.38) и равенства

или

Следовательно,

Если — сигнал типа белого шума, то для Таким образом, доминирующим членом является слагаемое, содержащее и

Конечно, при использовании метода наименьших квадратов в случае, когда аддитивная помеха не является белым шумом, появляется дополнительная составляющая ошибки.

Ошибки усечения

Если в концептуальной модели учитывается только часть параметров объекта, то для хорошего понимания задачи желательно рассматривать объект состоящим из двух частей (фиг. 6.6). Часть параметров (точки) весовой функции может быть оценена, остальные параметры не оцениваются.

Фиг. 6.6.

Фиг. 6.7.

Такая ситуация имеет место, если:

1) исходное предположение о длительности импульсной реакции системы не соответствует истине;

2) интерес представляет только начальная фаза (или любой заданный отрезок) отклика;

3) весовая функция затухает на бесконечности, т. е. объект включает чистое интегрирование.

На фиг. 6.7 параметры модели соответствуют параметрам объекта Выход объекта у состоит из двух частей:

С точки зрения оценивания сигнал соответствующий усеченной части отклика объекта, действует как аддитивное возмущение. Очевидно, что могут быть коррелированы, так как зависят от одного входного сигнала .

Для исследования эффекта усечения положим

или

Оценка параметров «усеченной» части объекта имеет вид

Сопоставляя это выражение с формулой (6.65), находим

Если входной сигнал и типа белого шума, то

Для других входных сигналов это математическое ожидание может не равняться нулю и оценки будут смещенными. Для ковариации имеем

Из этих уравнений и физического смысла ясно, что не зависят от уровня («мощности») входного сигнала.

Особый интерес представляет случай, когда (фиг. 6.8). Параметры нужно определять по формуле

Однако величина заранее не известна, и вместо нее приходится использовать у, что приводит к ошибкам. Независимо от объема выборки, используемой при оценивании, неопределенность полученных оценок не стремится к нулю. Оказывается, что для каждого параметра

Фиг. 6,8.

Фиг. 6.9.

справедлива формула [29]

Если использовать у, то последний из оцениваемых параметров на фиг. 6.8 может дать какую-то информацию хотя и искаженную ошибками усечения. Предполагалось, что для Таким образом, величина известна с некоторой неопределенностью. Это означает, что, используя у, частично можно компенсировать неопределенность и получить более точную оценку

Другой выход из положения указан на фиг. 6.9, где «хвосту» весовой функции соответствует интегратор (сумматор). Большие постоянные времени можно учесть, включая в (концептуальную) модель вместо интегратора низкочастотный фильтр. Отметим отличие пашей схемы от схемы, рассмотренной в [25], в которой интегратор стоит перед линией задержки.

Ошибки усечения при оценке параметров сильно коррелированы и почти равны по величине и по знаку. Особенно это справедливо при больших k. Отсюда следует, что для больших к форму графика весовой функции

можно достаточно точно определить, однако невозможно ответить на вопрос, насколько каждая оценка отличается от соответствующего значения истинной весовой функции [29].

Ошибки из-за неправильного определения состояния

В начале наблюдений за входным и выходным сигналами объекта вектор состояния не обязательно равен нулю. Это приводит к изменению первых выборочных значений у, которые не связаны с входным сигналом и. Снова используя модель с линией задержки, находим

где

(см. скан)

Если при объект находится в нулевом состоянии, то все элементы в треугольнике А равны нулю; в противном случае они определяются значениями То же самое справедливо и для конца интервала наблюдений; если входной сигнал управляем при то треугольник В будет заполнен нулями. Если сигнал неуправляем, то элементы в В будут определяться недоступными оценке последними выборочными значениями у. Это приводит к увеличению дисперсии оценок. Но, конечно, эта ошибка имеет значение только тогда, когда оценивание и роподится по малым выборкам.

Этот эффект можно уменьшить. Оценивание по методу наименьших квадратов основано на минимизации

В процессе наблюдения мы относимся к первым и последним выборочным значениям «менее серьезно», чем к промежуточным. Это можно учесть, минимизируя следующее выражение:

Здесь В результате получаем оценку вида

Другой подход к решению этой задачи состоит в одновременном оценивании параметров и состояний, начиная с

Ошибки, связанные с упрощением при реализации

Как было показано, оценка

является несмещенной. Операции обращения или перемножения матриц в вычислительном отношении трудоемки. Поэтому интересно было бы понять, нельзя ли

упростить формулу (6.72), приведя ее к виду

что как известно из разд. 6.11, справедливо, когда — белый шум. Из формулы (6.72)

следует, что

Поскольку вычисляется только по первому члену разложения без обращения матрицы, то отсюда следует, что второй член определяет смещение оценки, связанное с упрощением модели [37].

Интересно также сравнить дисперсии оценок, полученных с обращением и без обращения матрицы. Уже известно, что в случае аддитивного белого шума оценивание с обращением матрицы дает

Оценка, полученная без обращения матрицы, имеет вид

Вообще говоря, эта оценка смещенная, так как в большинстве случаев

Следовательно, ковариация имеет вид

и для белого шума

Если и — белый шум, то для больших к ковариацияопределяется тем же выражением, что и в случае оценки, полученной с обращением матрицы [см. формулу (6.63)]. Таким образом, результаты сопоставления явных методов оценивания с обращением и без обращения матриц могут быть представлены следующей таблицей:

(см. скан)

Ошибки выборочной аппроксимации

Если рассматриваемый объект непрерывен, то нужно выяснить, к чему приведет аппроксимация непрерывных сигналов их выборочными значениями при разном таге интервала измерений (см. гл. 7).