7.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НА ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Рекуррентные схемы из предыдущего раздела можно применить и к обобщенной модели, определяемой уравнением (6.83) (фиг. 7.8):

Эта модель является линейной по параметрам. Конечно, и здесь возникают те же проблемы, что и при использовании явных методов, а именно смещенность оценок параметров из-за искажения шумами (см. разд. 6.5). Такую

Фиг. 7.8.

Фиг. 7.9.

обобщенную модель можно задать дискретной весовой функцией (фиг. 7.9). В этом случае

Здесь индекс относится к значениям параметров на итерации. Для этого случая Калман [18] предложил простую схему оценивания, которая ведет к асимптотически смещенным оценкам.

Способы подавления искажений, возникающих из-за аддитивных помех, перечислены в гл. 6. Обсуждение одного из этих способов, связанного с применением обобщенных и близких к ним моделей, было отложено до настоящей главы, поскольку он основан на использовании моделей с настраиваемыми параметрами. Будут рассматриваться следующие подходы:

1) последовательный линейпый регрессионпый анализ и фильтрация;

2) обобщенный метод наименьших квадратов;

3) расширенный матричный метод.

Последовательный линейный регрессионный анализ и фильтрация. Вместо того чтобы задавать обобщенную ошибку к виде (фиг. 7.9)

Фиг. 7.10.

можно, как это предлагается в 134], записать ошибку следующим образом:

Это также обобщенная модель, линейная по параметрам и однако выражение, заключенное в фигурные скобки, соответствует обычной модели (фиг. 7.10). Для дальнейшего улучшения оценок предлагается по достижении определенной сходимости произвести переключение с обобщенной модели на обычную модель:

Достоинство этого приема состоит в том, что аддитивная помеха не вызывает смещения оценок. В окрестности оптимальной точки нелинейность по параметрам едва ли скажется на сходимости. Нелинейность по параметрам также можно преодолеть с помощью квазилинеаризации [33].

Итеративная процедура имеет следующий вид. На первом шаге подсчитывается линейная регрессия

где а (1) и являются параметрами На следующем шаге входной и выходной сигналы подаются на фильтр По отфильтрованным сигналам находится оценка Доказательство сходимости этой процедуры неизвестно.

Обобщенный метод наименьших квадратов (марковские оценки). Основная идея состоит в следующем. Пусть объект описывается уравнением

где полиномы, последовательность коррелированных случайных величин. Предположим, что корреляция последовательности известна. Например, можно записать как

где последовательность некоррелированных случайных величин, дискретная весовая функция. Тогда уравнение объекта можно записать в виде

где описывают объект, свойства «внешней среды», или

где

Таким образом если и и у рассматривать как входные и выходные сигналы, то имеет место обычное оценивание по методу наименьших квадратов. с формулой (6.110).] В результате выясняется, что обобщенный метод наименьших квадратов можно интерпретировать как

идентификацию по методу наименьших квадратов с критерием вида

где обобщенная ошибка определяется как

Сравните с блок-схемой, изображенной на фиг. 7.11. Это показывает, что обобщенную ошибку можно получить по входному и выходному сигналам объекта и параметрам модели которые определяются в рамках обобщенного метода наименьших квадратов.

На практике корреляция между невязками и дискретной весовой функцией редко бывает известна. В работе предложена рекуррентная процедура определения которая проверена как на модельных примерах, так и на практической задаче (идентификация ректификационной колонны). Эта процедура включает следующие этапы (для того чтобы подчеркпуть связь между представлениями с помощью дискретных весовых функций и с использованием матричных обозначений, они приводятся параллельно):

1) Используется обычный метод наименьших квадратов для подгонки входных и выходных последовательно

Фиг. 7.11.

стей объекта и модели

2) Теперь последовательность значений ошибок является аппроксимацией невязок. Анализируются эти невязка и строится модель авторегрессии:

(см. скан)

3) Фильтруется входная и выходная последовательности объекта:

4) Снова используется метод наименьших квадратов для подгонки модели к отфильтрованным входным и выходным последовательностям объекта, т. е. повторяется первый этап.

5) Повторяется второй этап.

Эта рекуррентная процедура показана на фиг. 7.12. Правило остановки определяется сравнением относительных значений функции потерь.

Если то получаем

Фиг. 7.12. (см. скан)

т. е. модель с некоррелированными невязками. По-видимому, к настоящему времени еще не существует каких-либо доказательств сходимости. Показано, что для простых примеров эта процедура приводит к хорошим оценкам при разумно выбранном порядке объекта. Недостаток процедуры состоит в том, что (пока еще) нет стандартных правил выбора порядка модели и порядка модели авторегрессии.

Описанная схема не является рекуррентной по данным о входных и выходных сигналах объекта; вся последовательность наблюдений обрабатывается за один шаг. Рекуррентный вариант этой процедуры описан в работе [14]. В этом случае оценки и подстраиваются по

мере поступления новых наблюдений. Сначала оценки 6 получаются плохими, и поэтому результаты фильтрации выборочных последовательностей и не являются оптимальными для оценки 0. Следовательно, для того чтобы уменьшить влияние старых наблюдений на результаты оценивания, необходимо ввести какое-то взвешивание. Поскольку в предыдущем разделе рассматривалось экспоненциальное взвешивание данных о предыстории объекта, здесь приводится лишь сводка алгоритмов для рекуррентных схем оценивания:

(см. скан)

Необходимо выбрать весовые коэффициенты В начале процедуры оценивания коэффициенты могут быть небольшими, например 0,975, с тем, чтобы обеспечивалась хорошая скорость сходимости; в дальнейшем можно

приблизить к 1,0 для того, чтобы получить хорошую точность (небольшую дисперсию). Пока еще не существует общей теории оптимального выбора Некоторые результаты моделирования приводятся в разд. 7.3.

Расширенный матричный метод. Предыдущий метод основывался на предположении, что шум можно представить как

где последовательность некоррелированных случайных величин (дискретный белый шум). В зависимости от ситуации число параметров, характеризующих шум, может быть довольно большим. Поэтому минимальное число параметров при таком описании шума можно было бы получить, используя соотношения

Таким образом, важно построить такую схему оценивания, в которой внешняя среда описывалась бы оценками параметров (фиг. 7.13).

Объект и среда описываются следующими уравнениями:

Отсюда

где нгум на выходе описывается последовательностью связан с дискретным белым шумом уравнением вида

Фиг. 7.13.

Полагая снова находим

и так же, как раньше, получаем

Это снова модель, линейная по параметрам объекта и шума с аддитивной помехой в виде белого шума в правой части. Как и раньше, состоятельная оценка имеет вид

Так как элементы матриц неизвестны и не могут быть измерены непосредственно, их нужно заменить оценками

Таким образом, на каждой итерации вычисляются элементы матриц В начало процедуры оценивания точность невысока, поэтому для более полного учета информации о прошлых наблюдениях нужно снова ввести весовые коэффициенты. Этот алгоритм также можно записать в рекуррептной форме. Например, если определить

то можно применить алгоритм (7.56). Этот метод рассмотрен в работе [35] для случая у — 0, в работе [42] — для случая а в [36] — для общего случая. Именно из последнего источника заимствованы результаты моделирования, которые приводятся в разд. 7.3.

Другой способ борьбы со смещенностью оценок в случае обобщенных моделей сводится к использованию метода максимального правдоподобия (см. гл. 11).

Метод вспомогательных неременных можно легко превратить в рекуррентный метод для работы в натуральном масштабе времени [29, 43]. Приближенный вариант метода максимального правдоподобия для работы в замкнутом контуре предложен в работе [28]. Еще одно обсуждение подобных методов можно найти в работе [20].

Модели в пространстве состояний. Изложенные методы можно применять и для оценивания параметров уравнений объекта в пространстве состояний. В работе [15] рассматривается задача оценивания матрицы А в уравнениях вида

Фиг. 7.14.

Рассмотрим ситуацию, когда измеряется и входной сигнал (фиг. 7.14). В этом случае уравнения объекта имеют вид

уравнение модели

Минимизация функции приводит к уравнениям вида

Таким образом, итеративную процедуру можно записать как

Коэффициент снова можно выбрать:

1) постоянным, если изменяются во времени;

2) равным если постоянны; случай стохастической аппроксимации.

Из-за влияния аддитивных помех оценки будут смещены.

В работе [3] описывается процедура получения состоятельных оценок элементов матрицы А, которая входит в систему уравнений вида

где белые шумы.