6.2. РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗОМКНУТЫХ СХЕМ ОЦЕНИВАНИЯ

В разд. 6.1 приводятся следующие формулы:

Метод наименьших квадратов:

Марковские оценки:

В этом разделе будут рассмотрены некоторые вопросы реализации этих формул.

Начнем с нростешпего случая оценок по методу наименьших квадратов, связанных с операцией где которая приводит к уравнению (6.52), уравнение реализуется с помощью известных корреляционных методов.

Пример. Пусть требуется определить только один параметр В этом случае уравнение (6.52) имеет вид

Числитель и знаменатель представляют собой средние по времени значения произведений, которые являются аппроксимациями взаимной корреляционной и автокорреляционной функций (фиг. 6.2). В этом разделе обсуждаются возможные ошибки.

В случае многих параметров уравнение (6.52) можио переписать в виде

Уместно сделать несколько замечаний:

1) Матрица симметрична относительно главной диагонали, поскольку Так как элементы этой матрицы действительные, то она самосопряженная и

Фиг. 6.2.

Фиг. 6.3.

может быть приведена к диагональной форме преобразованием подобия.

2) Одной из практических задач является вычисление обратной матрицы (см. [30, 39]). С помощью обратных матриц нетрудно непосредственно получить оценки параметров. Можно определить величину невязок и функцию ошибок. При известной ковариационной матрице шума можно вычислить ковариационную матрицу оценок.

3) Если (символ Кронекера), то единичная матрица. Ото условие ортоиормальности можно аппроксимировать соответствующим выбором входного сигнала и передаточных функций (фиг. 6.3). Чаще всего используется сочетание и (белый шум) и (чистое запаздывание). Довольно часто предлагается использовать систему ортонормальных фильтров например фильтров Лагерра (см. гл. 4).

Синтез фильтров, обеспечивающих ортогонализацию компонент при фиксированном входном сигнале рассмотрен в работах [10, 33].

4) Вместо выборочных значений можно использовать соответствующие реализации непрерывных сигналов (см. гл. 8).

5) Аналоговые сигналы можно заменить квантованными сигналами с конечным числом заданных уровней. Предельпое число уровней определяется двоичным сигналом (см. гл. 8).

6) Если воспользоваться пробным сигналом, то при выборе и или и можно сосредоточить внимание на придании сигналу желаемых свойств. Широко распространены пробные сигналы в виде набора синусоид или псевдослучайной двоичной последовательности. Каждому из этих типов сигналов можпо придать полезные свойства в отношении к ортогональности и способу генерирования (см. гл. 10).

7) При получении оценок не делалось предположений о линейности объекта Преобразователи на фиг. 6.3 могут быть нелинейными. Единственным требованием к модели объекта является линейность ее выхода по определяемым параметрам Таким образом, к некоторым классам нелинейных систем можно применить корреляционные методы (см., например, в гл. 4

винеровскую характеристику нелинейных систем, ряды Вольтерра, системы, приводимые к линейным). 8) Если

то

где аппроксимация одной из точек корреляционной функции, основанная на к наблюдениях. Если временные сдвиги стационарного входа , то

Для эргодического (стационарного) временного ряда

Следующая ступень усложнения возникает при реализации марковских оценок, которые определяются формулой (6.54), вытекающей из условия

Матрицу можно разложить на произведение нижней треугольной матрицы и транспонированной к ней матрицы

Используя это соотношение, формулы (6.59) и (6.54) можно переписать в виде

Матрица соответствует винеровскому фильтру, на вход которого поступает сигнал (последовательность) выходе получается белый шум. На фиг. 6.4 показано, каким образом подобные фильтры могут быть использованы при реализации корреляционных методов анализа систем. Как уже упоминалось, при этом обеспечивается минимальная дисперсия оценки (в классе несмещенных

оценок). Но, несмотря на это и относительную простоту реализации, метод, по-видимому, не нашел большого применения. По поводу матрицы можно сделать те же замечания, и по поводу матрицы используемой в методе наименьших квадратов.

Фиг. 6.4.

На практике априорная информация о возмущениях редко бывает достаточной для того, чтобы можно было пользоваться марковскими оценками. Таким образом, может оказаться желательным оценивать статистику возмущений по модели авторегрессии невязок. На основе этой информации можно построить фильтры показанные на фиг. 6.4.

Опишем один из таких методов. Пусть

Теперь невязки рассматриваются как аппроксимация возмущений Допустим, что эти возмущения образуются в результате пропускания белого шума через фильтр порядка. Отсюда следует, что минимизируется следующее выражение:

или

Тогда из системы нормальных уравнений находим

помощью этих оценок можно (приближенно) настроить модель фильтра Тогда определяется новая оценка а по ней новая оценка (см. разд. 7.2).

Фиг. 6.5.

Прямой способ получения] некоррелированных наблюдений, когда входной шум не является белым, состоит в выборе достаточно продолжительных пауз между последовательными измерениями. Однако в этом случае время наблюдения может стать чрезмерно большим.

Другие подходы к решению этой задачи можно найти в [12, 28] и гл. 7. Работа Острема (см. гл. 11) посвящена одновременному оцениванию параметров объекта и характеристик шума.

До сих пор на модель не накладывалось никаких ограничений, кроме требования линейности выхода по определяемым параметрам. В большинстве случаев выбирается как сдвинутый во времени входной сигнал и. При использовании ЦВМ такой выбор очень удобен. В этом случае параметр представляет собой оценку одной точки весовой функции объекта. На фиг. 6.5 изображена такая модель, использующая липию задержки. Здесь предполагается, что выходной сигнал объекта может быть представлеп в виде суммы

или

в этом случае уравнение (6.57) можно переписать в виде

где каждая есть сумма произведений. Если и сигнал и эргодический, то стремится к автокорреляционной функции Для входной последовательности типа белого шума

параметры оцениваются по формуле

Пример. Этот простой пример приведен для пояснения изложенпых идей.

Объект описывается уравнением

Выбрана модель вида

Ошибка запишется как

В качестве минимизируемой функции ошибок выбрана

Истинные значения оцениваемых параметров ; оценки обозначаются через При соответствующей трактовке можно воспользоваться уравнением (6.52). Однако для лучшего усвоения материала снова

рассмотрим всю процедуру минимизации:

или

или

Это согласуется с полученными ранее формулами. Читателю предлагается написать простую программу для генерирования на ЦВМ последовательностей и (например, как последовательностей случайныхчисел) с целью моделирования объекта и оценивания параметров (оценки можно изобразить графически при к или проделать эти вычисления вручную, используя таблицы псевдослучайных чисел для генерирования и

В процессе машинного моделирования полезно повторить эксперимент несколько раз, каждый раз задавая новые начальные условия для генератора случайных чисел. Изображая графически результаты эксперимента, можно получить наглядное представление о скорости сходимости. Можно также представить наблюдения на плоскости изобразить результаты моделирования объекта при отсутствии помех для случая и провести линию регрессии по оценкам