10.1. ИМПУЛЬСНЫЕ И СТУПЕНЧАТЫЕ СИГНАЛЫ

Для представления информации во временной области очевидна целесообразность использования импульсных и ступенчатых тестовых сигналов. Теоретический интерес представляет входной сигнал, близкий по свойствам к импульсной функции Дирака

После подстановки в интеграл свертки (10.2) получаем у. Имеющий большее практическое значение входной тестсигнал служит приближением к функции единичного скачка

Интеграл свертки принимает вид

откуда, дифференцируя, получаем

Спектральная плотность ступенчатых сигналов убывает на высоких частотах, где большинство объектов обладают заметным ослаблепием. Импульсные и ступенчатые сигналы не должны, конечно, наносить вред объекту либо выводить его в область пелинейности, если по

Фиг. 10.1.

условиям задачи необходимо линейное представление объекта. Наконец, при исследовании объектов применяются «пологие» сигналы.

По реакции объекта на ступенчатый вход можно сразу определить ряд практически важных параметров, например (фиг. 10.1) время задержки, время нарастания выходного сигнала до 50%-ного уровня, постоянную времени.

Более полный обзор и перечисление подобных определений, особенно при наличии перерегулирования, можно найти в стандартах [3]. Достаточно общим является случай, когда можпо ожидать, что передаточная функция имеет полюсы только на действительной оси. Следовательно,

Если можно допустить, что все постоянные времени равны между собой, то по кривой реакции на ступенчатый сигнал непосредственно определяются их количество и числовое значение каждой. Подобные правила определения постоянных времени для более общих случаев приведены, например, в [30, 33].

Влияние аддитивного шума

Рассмотрим теперь влияние аддитивного шума Вместо невозмущенного выхода наблюдается только Характеристиками шума служат

Фиг. 10.2.

Неопределенность измерений, вносимая шумом, определяется стандартным отклонением а. Эту неопределенность можно уменьшить, повторяя испытание несколько (скажем, к) раз в предположении воспроизводимости детерминированной части сигналов. Складывая к случайных функций времепи и деля сумму на к (фиг. 10.2), получим функцию с меньшим стандартным отклонением. Это нетрудно показать.

Пусть последовательные испытания начинаются в моменты Рассмотрим значения выходного сигнала, зафиксированные через время 6 после начала каждого испытания:

или

Среднее значение но к испытаниям равно

поскольку детерминированная часть сигнала предполагается воспроизводимой, т. е. для всех Следовательно,

Последнее соотношение имеет место лишь для некоррелированных Это соотношение выполняется с удовлетворительной точностью, если для корреляционной функции шума справедливо приближенное равенство

т. е. при достаточно разделенных во времени последовательных экспериментах. При таком условии стандартное отклонение уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа экспериментов [8—10, 24]. Этот подход, называемый методом усреднения отклика, реализуется в серийно выпускаемом оборудовании и находит применение при изучении потенциалов мозговой активности, нервных потенциалов, кардиограмм и Кроме того, для этой цели используются небольшие цифровые вычислительные машины с аналого-цифровыми преобразователями.

Другой величиной, представляющей интерес, является дисперсия По к наблюдениям она оценивается следующим образом:

Математическое ожидание этой величины равно

Следовательно, в качестве несмещенной оценки следует выбирать

(Обратите внимание на случай

Применение корреляционных фильтров

Используемые импульсные и ступенчатые тестовые сигналы должны иметь значительную амплитуду. Это означает, что объект может оказаться в нелинейной области, где весовая функция уже не обеспечивает адекватного описания. Характеристики объекта, определенные в таких условиях, могут отличаться от характеристик в нормальных условиях. Это затруднение можно обойти, распространяя энергию тестсигнала на больший интервал времени, так чтобы амплитуда была малой. В каждом конкретном случае это можно осуществить с помощью так называемых корреляционных фильтров и соответствующих тестсигналов (фиг. 10.3, а); см. также [22]. Тестсигнал и и весовая функция связаны соотношением Следовательно, выход фильтра при таком входном сигнале есть

Это соотношение определяет корреляционную функцию сигнала и. При соответствующем выборе и сигнал

Фиг. 10.3.

может сколь угодно точно аппроксимировать импульсную функцию При этом выход объекта является аппроксимацией его весовой функции. Если объект линеен, и можно расположить в соответствии с фиг. 10.3, б без изменения причем теперь энергия сигнала распределена на интервале времени Влияние аддитивпого шума по-прежнему можпо ослабить повторением эксперимента и усреднением откликов.

Свободу выбора и, определяемую условием можно использовать для выполнения ограничения, которое состоит в том, что максимальная амплитуда и должна оставаться в допустимых пределах. Эта задача аналогична задаче о выборе формы радиолокационных сигналов для повышения разрешающей способности [37].