13.4. НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ

Из большого числа публикаций по проблемам оптимального управления значительное число работ имеет отношение к рассматриваемой задаче. Исчерпывающее обсуяздение многочисленных методов, предлагаемых и рассматриваемых в этих работах (см. [4]), далеко выходит за рамки этой главы. Мы ограничимся лишь некоторыми замечаниями о квазилинеаризации и инвариантном погружении.

Квазилинеаризация

Это интересный и мощный метод. В его основе лежит метод Ньютона — Рафсона определения корня алгебраического уравнения и его обобщение на функциональные уравнения, сделанное Канторовичем. Под названием «квазилинеаризация» это направление развивается Беллманом и Калабой [3].

Для нашего изложения воспользуемся непрерывным описанием объекта, сформулированным выше, предполагая, что выход у линейно зависит от состояния х:

Векторы имеют размерности соответственно . На интервале наблюдений за объектом измеряются

т. е. числовые значения выхода, соответствующие моментам времени. Выражение (13.25) дает уравнений, которые должны удовлетворять граничным условиям (13.26). Поэтому рассматриваемая задача называется многоточечной краевой задачей. Покажем, как можно решать эту задачу методом квазилинеаризации. Для приближений функций и на интервале наблюдений справедливы уравнения

при условиях

Матрицы — якобианы:

На -й итерации задача формулируется в виде

причем определяется на предыдущей итерации:

Первая итерация начинается с произвольных начальных приближений Для обеспечения сходимости итерационной процедуры начальные приближения иногда требуется выбрать достаточно хорошими. Для получения таких приближений можно использовать дифференциальную (или разностную) аппроксимацию. Итерационную процедуру можно заканчивать, когда разности между решениями, полученными на двух последовательных шагах, т. е. величины удовлетворяют заранее заданным условиям. Беллман и Калаба [3] показали, что последовательность функций сходится в среднеквадратичном к истинному решению, если — выпуклая функция, а элементы якобиана, стоящие над и под главной диагональю, положительны. В работе [8] показано, что сходимость возможна и при невыполнении этих условий.

До сих пор предполагалось, что число измерений равно числу уравнений Из-за возмущений наблюдений число измерений к должно быть выбрано большим . В этом случае можно минимизировать квадрат разности между измерениями и выходом модели рассмотрено применение этой методики при оценивании параметров и состояния. Такой же подход можно использовать и при дискретном способе описания объекта.

Инвариантное погружение

Для ясности изложения основных идей воспользуемся следующим типом описания объекта:

Как и раньше, оцениваемые параметры включены в расширенный вектор параметров и состояния Так же как в разд. 13.3, приходим к соответствующей двухточечной краевой задаче на интервале

с граничными условиями

Перепишем уравнения (13.33) и (13.34) в виде

Обратимся теперь к граничному условию Задача погружается (обобщается) в более общую проблему (см., например, [7]):

Теперь считаются переменными. Изменения с влияют на окончательное значепие k. Изменение до также оказывает влияние на величину k. Следовательно, имеют место соотношения

Разлагая в ряд Тейлора последнее соотношение, получаем

где обозначает члены второго и более высокого порядка малости по Из формул (13,37) и (13,38)

видно, что

Подставляя эти выражения в (13.40), деля на и устремляя к 0, получаем уравнение инвариантного погружения

В качестве приближенного решения этого уравнения в частных производных в окрестности точки выбирается

Из сформулированной выше двухточечной краевой задачи при действительно получается оптимальная оценка вектора параметров и состояния при Подстановка этого приближенного решепия (13.44) в (13.43) дает

Вернемся теперь к исходным уравнениям для именно (13.33) и (13.34), и подставим их в (13.45). В результате получим

Поскольку запишем разложение в ряд в окрестности этой оптимальной точки, сохраняя только

члены нулевого и первого порядка по

Так как это равенство должно быть справедливо для произвольных (малых) значений с, можно по отдельности приравнять члены нулевого и первого порядка по с в обеих частях (13.47). В результате получаются следующие уравнения:

Эти уравнения задают рекуррентную оценку наименьших квадратов, так как теперь можпо рассматривать как текущую переменную Начальные условия вытекаюх из уравнения (13.35)

и (13.34). Следовательно,

Пример. Рассмотрим пример, приведенный в [7]. Исследуется объект второго порядка

с переменным параметром и наблюдениями выходного сигнала, задаваемыми формулой

Если известна функциональная форма зависимости но неизвестны ее начальное значение и постоянная времени, то можно записать

Следовательно,

Даны также

Заметим, что

(кликните для просмотра скана)

Итак, находим оценку в виде

Уравнение для также можно получить непосредственно. При заданных начальных условиях можно приступать к процедуре оценивания. На фиг. 13.2 показано изменение оценки во времени.

Аналогичным образом метод инвариантного погружения можно использовать при дискретном описании объектов.