7.4. МОДЕЛИ, НЕЛИНЕЙНЫЕ ПО ПАРАМЕТРАМ

В гл. 4 было подчеркнуто значение линейности по параметрам. Изложенные методы относились к объектам, обладающим этим свойством. С точки зрения упрощения процедур оценивания этот тип линейности оказался более существенным, пежели линейпость динамики систем. Для некоторых классов нелинейпых систем, которые можпо представить в виде соединения линейной динамической подсистемы и безынерционной нелинейной части, иногда удается применить методы идентификации по настраиваемой модели [10, 24].

Рассмотрим общий случай нелинейности по параметрам (модели). Выход модели можно представить в виде

Функцию ошибок (или потерь) снова можпо записать как

В этом случае для минимизации можно использовать методы, изложенные в разд. 5.2. Отметим, что для линейной по параметрам модели функция ошибок оказывалась квадратичной по параметрам. Это удобное свойство в рассматриваемом здесь случае утрачивается. В качестве примера можно привести два подхода:

а) Метод Гаусса или Гаусса — Ньютона, основанный на разложении функции в ряд Тейлора:

или

Теперь функция снова линейна по следовательно, можно найти, применяя стандартный метод наименьших квадратов. Модель настраивается по величине итеративно.

б) Градиентный метод. Определяется градиент функции ошибок

Настройка производится по величине

В разд. 2.4 обсуждались вопросы вычисления частных производных и градиентов. Это можно сделать, оценивая результаты возмущения параметров модели. В этом случае может оказаться полезной гибридная вычислительная машипа, состоящая из быстродействующей аналоговой части в сочетании с цифровой машиной.

Вообще говоря, алгоритм может быть расходящимся, а алгоритмы метода могут очень медленно сходиться в окрестности оптимума. В работе [22] используется сочетание этих методов. Для дальнейшего изучения вопросов сходимости читателю рекомендуется вернуться к гл. 5.

Причины использования нелинейных по параметрам моделей могут быть продиктованы возможными прикладными задачами или желаемыми свойствами оценок.

Если описание объекта основано на использовании дискретных весовых функций, то в качестве адекватного представления можно выбрать обобщенную модель объекта.

Фиг. 7.31.

Однако недостаток такого описания состоит в том, что наличие аддитивных помех приводит к смещению некоторых параметров. Таким образом, может понадобится рассмотреть модель, изображенную на фиг. 7.31, и минимизировать

где

Решение нелинейной задачи оптимизации было получено в работе [7] с помощью метода квазилинеаризации. Интересные применения этого метода можно найти в [8, 9, 33, 38]. Другой метод решения нелинейной задачи оптимизации предложен в работе [37], где он использовался при решении задачи определения устойчивости полета по производным.

Можно дать другую вероятностную интерпретацию функции ошибок, если предположить, что единственным источником возмущений является белый шум ошибок измерений. В работе [4] предложен метод, позволяющий рассматривать случай, когда ошибки измерений описываются стационарным случайным процессом с неизвестной спектральной плотностью. Специфичность принятых в этой работе] допущений заставляет предполагать, что при их невыполнении могут возникнуть серьезные ошибки. Результатов, которые обосновывали или опровергали бы этот метод, не известно.

Задача настройки моделей весьма близка к вопросам, обсуйгдаемым в гл. 13, в которой содержатся ссылки на другие работы.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)