9.4. ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПАРАМЕТРОВ

В разд. 2.4 были указаны основные положения этого вычислительного метода, позволяющего получить частные производные (коэффициенты влияния параметров) по соответствующим параметрам системы. Эти производные можно определить одновременно с решением исходного дифференциального уравнения.

Диапазон приложения метода, основанного на изучении чувствительности (влияния) параметров, шире, чем методов оценивания параметров. Мейссингер приводит следующий список возможных применений:

а) Предсказание решений в окрестности известного решения путем линейной экстраполяции.

б) Определение допусков для параметров с помощью линейного прогнозирования, выделение критических параметров.

в) Приложения к статистическим исследованиям: оценивание влияния случайных параметров системы или начальных условий, экстраполяция результатов, полученных при случайных входных сигналах.

г) Оптимизация параметров системы градиентными методами в соответствии с определенным критерием качества.

д) Анализ чувствительности решения к ошибкам ЭВМ.

е) Определение границ области устойчивости системы.

ж) Изменение постоянных времени различных процессов; изменение времени нарастания, времени оседания.

з) Решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Мы ограничимся обсуждением применения этого метода к оцениванию параметров объекта.

Методы, основанные на изучении влияния (чувствительности) параметров

Выделим теперь основные положения метода, использующего функции влияния параметров. Рассмотрим следующее неоднородное линейное дифференциальное уравнение относительно

с начальными условиями

Требуется получить решение при конкретных значениях параметров Рассмотрим пока для наглядности только один параметр; тогда будет функцией двух переменных, например По кривой решения, полученной при значении параметра путем экстраполяции по можно найти близкую кривую, соответствующую

Необходимое для удовлетворительной аппроксимации число членов в этом разложении зависит от величины и поведения решения и его частных производных по в интересующей нас области. Здесь будет рассматриваться только аппроксимация с точностью до членов первого порядка.

Частная производная являющаяся функцией называется коэффициентом влияния или функцией чувствительности параметра первого порядка. Другими коэффициентами влияния, относящимися к уравнению (9.67), являются

Два последних члена характеризуют чувствительность к изменениям начальных условий. Дифференцируя (9.67) по и учитывая, что и зависят от получаем

Меняя порядок дифференцирования и используя обозначение приходим к дифференциальному уравнению для

с начальными условиями

следующими из того, что начальные значения постоянны и не зависят от Уравнение (9.70) известно как уравнение чувствительности системы относительно параметра При небольших изменениях из этого уравнения можно получить информацию о приближенном значении градиента Это уравнение нетрудно промоделировать, заменяя частные производные полными:

(приближенное уравнение чувствительности). Причина того, что это уравнение является всего лишь приближени

ем состоит в том, что соотношение между частной и полной производивши имеет вид

Следовательно, уравнение (9.71) является хорошим приближением, если изменения параметров во времени достаточно малы.

Аналогичным образом можно вывести приближенные уравнения чувствительности относительно Для четырех рассматриваемых параметров получаем

Каждое из этих уравнений можно промоделировать с помощью отдельной модели чувствительности (см. блок-схему на фиг. 9.8). В рассматриваемом линейном случае все приближенные уравнения чувствительности оказываются одинаковыми, если не считать различий в правых частях. Это значит, что функции чувствительности параметров можно последовательно определять на одной и той же модели, используя соответствующий «связывающий член» или и. Дальнейшие упрощения получаются, если учесть, что, согласно формулам (9.73а), (9.736),

согласно формулам (9.73в), (9,73г),

а сравнение формулы (9.67) с (9.73в) и (9.73г) дает

Фиг. 9.8.

Таким образом, достаточно промоделировать уравнение (9.736) и воспользоваться соотношениями (9.74)-(9.76) для одновременного получения функций чувствительности всех четырех параметров (фиг. 9.9, б). Такая схема практической реализации требует существенно меньших затрат, чем схема, соответствующая фиг. 9.8.

Если начальные условия и также являются параметрами, представляющими интерес, то легко видеть, что в соответствующих уравнениях чувствительности «связывающий член» вообще отсутствует. При получаем однородное дифференциальное уравнение

с начальными условиями

Это уравнение решается просто путем повторного использования основной модели при тождественно равной нулю управляющей функции и и соответственно измененных начальных условиях.

Применения метода влияния параметров не ограничены линейными сиртемами. В качестве примера нелинейной системы рассмотрим уравнение

(кликните для просмотра скана)

Уравнения чувствительности имеют вид

Опять уравнения различаются только «связывающими членами». Следовательно, можно последовательно использовать одну и ту же модель с управляющими функциями Рассмотренную задачу можно обобщить на систему дифференциальных уравнений с параметрами

Уравнения чувствительности относительно из которых определяются производные записываются в виде

Начальные условия нулевые, если только начальные условия исходного дифференциального уравнения не рассматриваются как параметры. Приведенная формулировка справедлива как для линейных, так и для нелинейных систем. Для изучения влияния отдельного параметра приходится моделировать (или программировать) всю систему уравнений чувствительности (9.81), даже если этот параметр явно входит лишь в одно уравнение исходной системы (9.80). Если, например, входит только в член то в уравнении чувствительности появляется «связывающий член» тогда как при Тем не менее все остальные уравнения чувствительности содержат в неявной форме в виде членов и оказываются связанными с уравнением.

Еще одна область применений обнаруживается при исследовании эффекта исключения производных более

высокого порядка из дифференциального уравнения. Допустим, что изучается уравнение

Нужно выяснить влияние члена третьего порядка

Уравнения чувствительности относительно и имеют вид

Следовательно, и из модели чувствительности можно получить значение коэффициента влияния этого параметра в окрестности

До сих пор в этом разделе рассматривались абсолютные функции чувствительности параметров, например Иногда удается использовать относительные функции чувствительности, например

Метод с использованием точек чувствительности

В предыдущем разделе было установлено, что для одновременного определения нескольких функций чувствительности, помимо модели объекта, необходим еще ряд дополнительных моделей чувствительности. Это связано с усложнением аналоговой вычислительной схемы или с увеличением машинного времени, необходимого для решения Подобных задач.

С другой стороны, в разд. 9.1 было показано, что при использовании обобщенной модели дополнительных моделей чувствительности не нужно — функции чувствительности могут быть измерены непосредственно. Это объясняется линейностью обобщенной модели относительно параметров.

Учитывая желательность максимально возможного упрощения схемы моделирования и сокращения машинного

времени, имеет смысл изучить типы моделей, позволяющих находить наиболыпее число функций чувствительности (из числа подлежащих определению). Для этой цели используется так называемый метод точек чувствительности [12].

Основную его идею можно пояснить следующим образом. Рассмотрим линейный объект с передаточной функцией зависящей от параметров Преобразование Лапласа от входного сигнала есть тогда выходной сигнал определяется формулой

Выход соответствующей модели имеет вид

Учитывая дифференцируемость -преобразования по параметрам, получим

(абсолютные) функции чувствительности параметра

относительные функции чувствительности параметра

Следующий пример помогает проиллюстрировать эту идею (фиг. 9.10, а, б). Для модели справедливы соотношения

Отсюда для относительных функций чувствительности получаем

В результате приходим к схеме фиг. 9.10, б. называются точками чувствительности. При аналоговом

Фиг. 9.10. (см. скан)

моделировании обе функции чувствительности можно измерять одновременно, при цифровых вычислениях обе функции определяются по одной и той же программе.

Эту идею можно распространить на многоконтурные системы с обратной связью (фиг. 9.11). Здесь предполагается, что в каждом из элементарных блоков имеется лишь один параметр, для которого нужно вычислить функцию чувствительности. Так же как и раньше, нетрудно показать, что является точкой чувствительности для параметра из блока Остается рассмотреть вопрос

(кликните для просмотра скана)

о том, каким образом параметр входит в передаточную функцию Он решается введением дополнительной передаточной функции

Это логарифмическая передаточная функция чувствительности, введенная ранее Боде [1]. Входом служит сигнал, снимаемый с точки чувствительности выходом —

Некоторые частные случаи:

В этом случае сигнал с есть функция чувствительности и нет необходимости в добавлении каких-либо элементов в модель чувствительности (фиг. 9.9, б и 9.10, б).

б) Если т. е. передаточная функция, является произведением двух передаточных функций, из которых лишь одна содержит представляющий для нас интерес параметр, то

т. е. совпадает с передаточной функцией той части модели, которая содержит

Эти идеи можпо также распространить на функции чувствительности высших порядков, например

которые получаются очевидным образом из функций чувствительности первого порядка. Оказывается, что в этом случае необходима еще одна модель чувствительности.

Разумеется, анализ чувствительности использовался также и для описания объектов во временной области. Обзор соответствующей литературы можно найти в работе [13]. Много интересных статей содержат два сборника Докладов симпозиумов ИФАК по чувствительности [7, 8].

Непрерывные настраиваемые модели

Рассматриваемая здесь схема приведена на фиг. 9.12. Ошибка определяется как

где некоторый функционал. Необходимо минимизировать критерий который можно записать как функционал от четной функции

Настройка модели осуществляется изменением параметров в соответствии со значением градиента

Компоненты вектора градиента определяются дифференцированием:

причем представляет собой коэффициент влияния параметра. Теперь можно определить следующий

Фиг. 9.12.

оператор:

откуда получаем

Как указывалось в предыдущем разделе, множество операторов зависящих от параметра а и действующих на сигнал и, позволяет получить все функции чувствительности параметров.

Пример. Воспользуемся результатами работы [17]. Объект и модель описываются соответственно уравнениями

Уравнение чувствительности получается в результате дифференцирования уравнения модели:

где а а считается постоянной. Применим в качестве критерия условие минимума

и будем использовать для настройки метод наискорейшего спуска

поскольку от а зависит только

Поведение схемы настройки модели описывается формулами (9.98)-(9.102). Из-за ограничения, требующего постоянства а в (9.102), эти формулы позволяют лить приближенно описать изменения а, когда эти изменения происходят достаточно медленно. В работе [17] исследованы вопросы сходимости для случаев, когда вход и является ступенчатым или синусоидальным сигналом. В первом случае можно доказать устойчивость точки равновесия

. Второй случай приводит к уравнениям Матье, которые могут иметь как (асимптотически) устойчивые, так и периодические и неустойчивые решения.

При изучении устойчивости применялся второй метод Ляпунова: см. [9], а также работы, цитировавшиеся в предыдущем разделе.

Отметим, что функции чувствительности параметров играют роль вспомогательных переменных по аналогии с изложенным в гл. 6 и 7 для случая дискретных сигналов.

Примеры моделирования, практической реализации и применений

Хотя работа [5] и не имеет прямого отношения к оценке параметров, ее можно упомянуть как еще один пример использования коэффициентов влияния параметров. Исследуемая система изображена на фиг. 9.13. Параметры объекта (например, изменение угловой скорости самолета по оси тангажа от отклонения управляющих поверхностей) изменяются. Эти изменения компенсируются

Фиг. 9.13.

настройкой параметров и в контуре обратной связи. Желаемые показатели системы «объект + цепь обратной связи» устанавливаются эталонной моделью, представляющей собой фиксированную аналоговую схему. Целью настройки является минимизация некоторого четного функционала от ошибки Это означает, что.

Такой результат получается генерированием коэффициентов влияния параметров эталонной модели вместо соответствующих коэффициентов охваченного обратной связью объекта. Если фиксированы, такой подход имеет то преимущество, что генерируемые коэффициенты влияния параметров представляют собой требуемые частные производные. (Это не верно для рассматривавшейся выше схемы настройки модели.)

Прерывистая настройка моделей

Как отмечалось в разд. 9.2, для непрерывных схем настройки трудно выявить свойства сходимости. Это объясняется прежде всего сложностью определения градиента при изменении (настройке) параметров модели. Рассмотрим теперь схемы, в которых параметры модели остаются постоянными при определении градиента. После интервала измерений производится настройка параметров модели, затем вновь начинается период измерений и т. д.

Если нужно настраивать два или большее число параметров, используются прерывистые схемы одного из двух типов:

а) все (или несколько) параметров настраиваются одновременно; б) в каждый момент времени может настраиваться лишь один параметр.

Пусть критерием является условие минимума

где настраиваемые параметры. Для одновременной настройки нескольких параметров необходимо определить частные производные по этим параметрам. Выбор пути, ведущего к минимуму, обсуждался в гл. 5.

Рассмотрим случаи, когда одновременно настраивается не более одного параметра, следуя Бруннеру [2], описавшему итерационную процедуру пастройки модели типа наискорейшего спуска. Критерием является условие минимума

где представляют веса различных составляющих ошибки. Дифференцируя по получим

Теперь рассмотрим итерационную процедуру настройки параметра В случае одношаговой процедуры осуществляется настройка лишь одного параметра. Ошибку можно записать в векторной форме. Пусть

— вектор ошибки до подстройки а и

— тот же вектор после этой подстройки. Для получения траектории наискорейшего спуска нужно стараться сделать значения вектора ошибки ортогональными в метрике к производной вектора по параметру Это условие ортогональности можно записать в форме скалярного произведения:

Это равенство представляет не что иное, как требование равенства нулю производной Если теперь новые значения компонент вектора ошибки разложить в ряд Тейлора, сохраняя лишь члены первого порядка, то уравнение (9.104) примет вид

Разрешая это уравнение относительно получим

В случае, когда линейно зависят от параметров уравнения (9.104) и (9.105) полностью эквивалентны. Это как раз тот случай, когда вводится обобщенная модель (см. гл. 2 и 7).

Теперь рассмотрим одновременную настройку всех параметров после каждого периода измерений. Пусть объект и модель задаются уравнениями

Критерий имеет вид

Для минимизации этой функции воспользуемся градиентным методом, при котором зпачения и изменяются пропорционально соответствующим компонентам вектора градиента Этот метод гарантирует наискорейший спуск к минимальному значению по траектории, ортогональной к линиям уровня Для вычисления компонент градиента

необходимы значения коэффициентов влияния параметров Эти коэффициенты можпо

Фиг. 9.14.

получить как непрерывные функции времени одновременно с решением (фиг. 9.14). Вычислительное устройство одновременно оценивает интегралы (9.110) и (9.111). Процедура вычислений сводится к многошаговому процессу систематических изменений значений параметров в соответствии с направлением градиента, определяемым в конце каждого цикла вычислений. Эта последовательность сходится к желаемому минимуму На фиг. 9.15 показаны типичные липии уровпя и направления градиента, полученные при решении задачи оценивания.

Несколько более изящным является метод с использованием квадратичного предсказания оптимума. Предположим, что ошибки вычислений отсутствуют. Тогда ошибка определяется лишь невязками

Разложение ошибки в ряд в окрестности дает

Снова нужно из уравнений чувствительности для

Фиг. 9.15. (см. скан)

определить коэффициенты влияния параметров. Так как то

Поскольку предположение об отсутствии шумов и ошибок практически не может быть выполнено, следует ввести величину остаточной ошибки

Теперь можно записать критерий в виде

Уравнения наискорейшего спуска в данном случае имеют вид