10.2. СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТЕСТОВЫЕ СИГНАЛЫ

Информацию в частотной форме представления проще всего получить, используя синусоидальные или другие периодические тестовые сигналы. Этот метод исследования объектов имеет длинную историю [2]. Существует немало публикаций по этому вопросу [11, 16]. Синусоидальные сигналы обладают мпогими преимуществами. Можно ограничиться измерениями только на представляющих интерес частотах; свойства ортогональности синусоидальных сигналов предоставляют определенные возможности индексации; легко проверяются предположения о линейности; длительность эксперимента можно выбирать произвольно; генерирование и обработка таких сигналов изучены весьма глубоко; в классической теории систем с обратной связью исследование устойчивости проводится с использованием синусоидальных сигналов. Недостатком является опасность возбуждения объекта на резонансных частотах.

Принципы этого метода можпо показать на следующем примере. Пусть объект описывается дифференциальным уравнением

Входной сигнал выбирается в виде

Благодаря линейности объекта его выход после окончания переходного процесса состоит из следующей суммы откликов на каждую из двух компонент входа:

где

Следовательно,

где

Подлежащими определению параметрами объекта являются с для ряда частот Их можно найти, возбуждая объект сигналом и и применяя фильтр Фурье к выходному сигналу Такая процедура фильтрации сводится к умножению соответственно на и усреднению по целому числу периодов:

где

Этот подход тесно связан с корреляционными методами (см. гл. 8). Аналогично можно измерить гармонические составляющие если и и выходные сигналы умножаются на синусоиды с частотами Другой задачей является определение из графиков Найквиста параметров и передаточной функции определяемой формулой (10.15) [33].

Влияние аддитивного шума [34]

До сих пор возмущения не рассматривались. Если искажается шумом результатом фильтрации Фурье будет

Теперь оказываются приближенными значениями, зависящими от интервала интегрирования Поскольку сигпал случаен, являются случайными величинами. В дальнейшем предполагается, что

Применение операции математического ожидания позволяет получить

Следовательно, результаты измерений несмещенные. Представляет интерес дисперсия измерений

где

В приложении показано, что

Если аддитивный шум белый, то

и, так как при в соответствии с равенством

можно получить

Как и в рассмотренных в предыдущих главах случаях, стандартное отклонение а обратно пропорционально или

Если аддитивный шум можно рассматривать как белый шум, пропущенный через низкочастотный фильтр с передаточной функцией

то

Подставив эту корреляционную фупкцию в формулу (10.24), получим

При

при а (белый шум) эта формула сводится к (10.25). Для белого шума на достаточно большом интервале дисперсия не зависит от для «красного» шума она растет с увеличением со, (фиг. 10.4). В работе [34] показано, что

Фиг. 10.4.

Фиг. 10.5.

различие между уравнениями (10.27а) и (10.276) связано с конкретным выбором интервала интегрирования Можпо использовать интервал Если случайная величина, равномерно распределенная в, интервале то Помимо и представляет интерес корреляция ошибок в Ее можно охарактеризовать величиной

Нетрудно показать, что независимо от и корреляционной функции шума

В качестве примера рассмотрим построение графика Найквиста для простого объекта первого порядка

при наличии аддитивного шума вида (10.26) (фиг. 10.5). Пусть Тогда можно вычислить при разпых значениях что с учетом равенства приводит к ситуации, показанной на фиг. 10.6, где окружности вокруг точек задают интервалы шириной в одно стандартное отклонение при разных длинах интервала интегрирования. Другие аспекты фильтрации Фурье рассмотрены в работах [4, 5, 14, 18, 20, 21, 23, 31, 35].

Другие родственные процедуры [34]

Исследуя нежелательное влияние аддитивного шума, можно задать вопрос, не существует ли для этого случая лучших методов. Под лучшим здесь понимается метод, Дающий при том же интервале наблюдений или

(кликните для просмотра скана)

интегрирования меньшую дисперсию, чем фильтр Фурье. В частности, можно предложить следующие методы.

а) Использование дополнительных полосовых фильтров совместно с фильтром Фурье для ослабления шума, создающего помехи наблюдениям (фиг. 10.7). В самом деле, при таком подходе удается воздействовать на корреляционную функцию из (10.24) в благоприятном направ лении. Этот метод, однако, имеет некоторые недостатки: средняя частота полосового фильтра должна быть жестко связана с частотой на которой проводятся измерения; точность настройки полосовых фильтров относительно весьма существенна, так как незначительная расстройка проявляется в отличном от нуля фазовом сдвиге, приводящем к ошибкам в с при подаче синусоидального сигнала на полосовой фильтр начинаются переходные процессы, во время которых фильтр Фурье не может использоваться. При сравнении с характеристиками немодифицированного фильтра Фурье длительность этих переходных процессов нужно добавить к интервалу интегрирования фильтра Фурье. Получается, что эти недостатки перевешивают возможные достоипства.

б) Использование компенсации (настройки модели) (фиг. 10.8). Этот метод можно сравнить с методами,

Фиг. 10.8,

Фиг. 10.9.

изложенными в гл. 7 и 9. В данном случае модель очень проста, поскольку имеются всего два параметра По-прежнему нужно минимизировать некоторый критерий, зависящий от ошибки Можно показать, что интегральный критерий среднеквадратической ошибки тесно связан с обсуждавшимся выше фильтром Фурье. Отметим здесь работы [28, 29].

в) Использование дискретизации времени. Этот метод можно пояснить следующим образом. Пусть

Если

При

Следовательно, подлежащие определению параметры можно пайти по выборочным значепиям процессов в моменты Поэтому метод оказывается очень простым (фиг. 10.9). Ясно, однако, что этот метод очень чувствителен к наличию высших гармоник. Влияние

аддитивного шума можно снова уменьшить усредпснием по дискретным выборкам в нескольких точках Сравнение дисперсий оценок, получаемых по этому методу и с помощью фильтра Фурье, обнаруживает (существенное) преимущество последнего. Можно несколько улучшить предлагаемый метод, производя выборку два раза за период и меняя знак у соответствующих значений на обратный. Несмотря на возникающие усложпения, приведенный выше вывод остается в силе.

г) Использование полосовых фильтров. Для подавления высших гармоник и шума выходной сигнал пропускается через полосовой фильтр и затем используется для получепия кривых Лиссажу на осциллографо или графопостроителе (фиг. 10.10). По этим кривым можно определить оба параметра в соответствии с фиг. 10.11. В принципе метод прост, но, как и при ранее упоминавшемся применении полосовых фильтров, здесь возникает ряд проблем. Теоретическое рассмотрение показывает, что фильтр Фурье предночтительпее [23].

д) Использование оптимальных фильтров. Рассматриваемую задачу можно интерпретировать как задачу оценивания неизвестных амплитуды и фазы (или действительной и мнимой составляющих) сигнала известной частоты в присутствии помех. Имеется множество публикаций, касающихся такой постановки задачи оптимальной фильтрации, которая может быть решена с помощью линейных фильтров. Фиг. 10.12 иллюстрирует задачу с этой точки зрения; здесь весовые функции оптимальных фильтров соответственно для действительной и мнимой составляющих. Оказывается, что при аддитивном белом шуме оптимальпые фильтры идептичны фильтру Фурье.

Недостатком синусоидальных сигналов является малое количество информации, приходящейся на единицу частоты тестсигнала. Увеличить эту информацию можно добавлением нескольких гармоник к периодическому тестовому сигналу. Этим способом при надлежащем выборе фазовых соотношений синусоид периодический сигнал можно превратить в двоичный принимающий только два зпачения без существенного

(кликните для просмотра скана)

искажения исходного энергетического спектра 119]. Такие двоичпые сигналы легко использовать при исследовании многих линейных объектов, если это допускается условиями эксплуатации. Из выходного сигнала объекта отфильтровываются гармоники, составляющие входной сигнал. При этом удается получать одновременно информацию об амплитудной передаточной функции объекта на нескольких частотах. Другой подход к определению нестационарных переходных характеристик (человек-оператор) с использованием суммы ряда синусоид описан в [32]. Пока еще нет теории, позволяющей синтезировать релейные сигналы с зарапее заданным спектром. Метод проб и ошибок, а также оптимизационные процедуры с релейными сигпалами могут дать хорошие приближения к определенным желаемым спектрам и привести к результатам, лучшим по сравнению с получаемыми с помощью псевдослучайных последовательностей.

При отсутствии априорной информации с помощью псевдослучайных последовательностей (разд. 10.3) легко получается общая картина процесса, на основе которой можно подобрать методы для более точного количественного исследования. Теоретической основой оптимального выбора тестовых сигналов является теория статистических решений. По мере увеличения количества информации, извлекаемой из измерепий, можно применять все более точные методы обработки результатов измерений. Если это осуществляется системой автоматического управления, используется термин «дуальное управление» [15].