9.2. МИНИМИЗАЦИЯ МГНОВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ОШИБКИ

В предыдущем разделе было упомянуто несколько возможных критериев ошибок. Для устранения элемента случайности использовалась ощзрация математического ожидания. При практической реализации системы с настраиваемой моделью можно пользоваться только одним элементом статистического ансамбля. В данном разделе рассматривается минимизация мгновенного значения ошибки; минимизация интегральной ошибки является предметом следующего раздела.

Основные уравнения

Обобщенная модель показана на фиг. 9.1. Будем считать шум пренебрежимо малым. Ранее обобщенная ошибка была определена как

Критерием ошибки является условие минимума

Отсюда следует, что

или в векторной форме

где

Те же рассуждения справедливы и для следующего критерия:

В этом случае

откуда получается векторное уравнение

где имеют тот же смысл, что и раньше.

Интересно, что при таком виде критерия нет необходимости требовать, чтобы вектор был постоянным, как это делалось в разд. 9.1; уравнения (9.30) и (9.31) остаются справедливыми и при переменном 0. Поэтому можно выбрать оператор политики

например, как в (9.12):

С учетом равенства (9.30) отсюда получается матричное дифференциальное уравнение

Если вход и случаен, элементы матрицы оказываются также случайными. Это уравнение можно еще упростить, предполагая, что модель может идеально описывать объект . Это означает, что из уравнений

и

следует

[см. формулы (9.14), (9.15) и (9.19)]. Для стационарного случайного входного сигнала элементы матрицы оказываются стационарными случайными функциями.

Векторные уравнения (9.30) и (9.32) описывают поведение системы настройки. Для практической реализации достаточно уравнений (9.27) и (9.33):

Используя простой матричный коэффициент усиления » получаем

Пример. Рассмотрим объект с простой передаточной функцией

в которой нужно оценить В обозначениях преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях объект описывается уравнением

или

где произвольная передаточная функция (фильтр), и

Соответствующим выбором можно добиться простой практической реализации передаточной функции по сравнению со случаем отсутствия вспомогательного фильтра, например

Фиг. 9.2.

Уравнение модели теперь записывается в виде

На фиг. 9.2 изображенамодель для данного конкретного выбора

Этот пример иллюстрирует общий принцип. С применением; дополнительного фильтра появляется возможность, например, дифференцирования сигналов. Этот результат можно считать прямым следствием концепции обобщенной модели. Примеры конкретного выбора моделей можно найти в [11, 25].

Теперь у нас есть возможность выбора между несколькими критериями. При получаем

и градиентные уравнения вида

Фиг. 9.3.

Отсюда следует, что фиг. 9.2 нужно дополнить с помощью схемы фиг. 9.3, а. Выбирая критерий приходим к схеме фиг. 9.3, б, где вместо пары аналоговых умножителей появляются простые реле.

Свойства сходимости

Свойства сходимости и устойчивости схем оценивания параметров, приведенных в предыдущем разделе, часто оказывается довольно трудно установить. Поэтому здесь приводится другой подход, когда основное Требование к оценке задается не в виде критерия ошибки, а в виде условия монотонной сходимости модели [6]. Объект задается уравнением

где неизвестные параметры. Это уравнение справедливо в промежутке времени, когда зависимость от времени определяется несколькими функциями а также их производными. Модель имеет вид

где ошибка, подлежащая минимизации. Теперь, однако, критерий, в соответствии с которым производится минимизация, не определяется заранее, а вытекает из рассуждений следующего типа. В общем случае справедливо

соотношение

Почленно умножим это уравнение на некоторую нечетную функцию ошибки Допустим, что выполняется условие

Тогда

Последнее неравенство обеспечивает монотонную сходимость ошибки к нулю, пока выполняется условие (9.45). Как только ошибка уменьшится настолько, что это условие окажется нарушенным, величина ошибки начнет колебаться в интервале При конкретном выборе существует несколько возможных способов выбора обеспечивающих выполнение неравенства (9.45). Несколько примеров для случая настройки одного параметра приведено ниже. Пусть Тогда

(см. скан)

Фиг. 9.4, (см. скан)

На фиг. 9.4 схематически показаны реализация одного из этих случаев, а также случай одновременной настройки параметров. Коэффициенты усиления интеграторов выбираются на основе компромисса между помехоустойчивостью (малые и скоростью сходимости (большие

Пример. Используем, например, метод наискорейшего спуска для настройки каждого параметра:

Тогда

Таким образом, соотношения (9.47) гарантируют монотонную сходимость процедуры наискорейшего спуска при использовании указанных выше критериев для настройки одного параметра.

Пользуясь формулой для (обобщенной) ошибки (9.23), можно в случае записать неравенство (9.45) в виде

Для случая критерия из формулы (9.45) получаем

или

Если входной сигнал стационарен, то также стационарны. От коэффициента у зависит усиление контура.

Подобные интуитивные рассуждения о сходимости для систем рассматриваемого типа приведены в статье [22], откуда взят также и следующий пример.

Пример. Уравнение динамики объекта имеет вид

причем коэффициенты должны быть определены.

Для сравнения с предыдущим материалом положим Обобщенная ошибка равна

Фиг. 9.5.

где вычисленные значения коэффициентов. Абсолютная величина ошибки

представляется кусочно-линейной поверхностью в пространстве (фиг. 9.5). Эта поверхность касается плоскости по линии определяемой формулой

Наклоны поверхности вдоль осей вычисляются как

Справа стоят компоненты вектора градиента. Если координаты текущей точки изменяются пропорционально этим наклонам, взятым с обратным знаком, то эта точка будет двигаться к линии по нормальной к ней траектории. Так как значения изменяются во времени, то линия будет вращаться вокруг точки Текущая точка при этом будет равномерно стремиться к точке Реализация этого случая была показана на фиг. 9.3.

Фиг. 9.6.

Исследования свойств сходимости можно найти в статье [18], где используется второй метод Ляпунова. Определим как

Дифференцируя (9.52) по времени, получим

с учетом уравнений (9.38а) и (9.36). Таким образом, оказывается функцией Ляпунова.

Влияние аддитивного шума. До сих пор воздействие аддитивного шума не рассматривалось. Остановимся теперь на простом примере, схема которого показана на фиг. 9.6. Пусть уравнение объекта имеет вид

При отсутствии аддитивного шума обобщенная ошибка равна

Теперь допустим, что и контур настройки разомкнут точке В. Сигнал и шум независимы: При сигнал ошибки имеет две компоненты, обусловленные шумом, а именно Выход умножителя (с обратным знаком) имеет вид

Поскольку сигнал и шум независимы,

Далее можно показать, что

Четвертый член дает

В результате появляется постоянная составляющая в выходном сигнале умножителя. Поэтому при замыкании контура в точке В система выходит из равновесия. Другими словами, следует ожидать расстройки коэффициента на величину

Поскольку единственная комбинация входных величин имеющая ненулевое математическое ожидание, отсюда следует, что появляется смещение коэффициента, зависящее от отношения сигнала к шуму.

Комбинация входных сигналов не дающая вклада в математическое ожидание выхода, может, однако, увеличивать дисперсию этого выхода, повышая таким образом неопределенность

Примеры моделирования, практической реализации и применений

Примеры подобных схем настраиваемых моделей с минимизацией мгновенного значения ошибки можно найти в ряде работ. К числу первых работ относятся статьи [3, 4], где выдвигается идея синтеза системы путем неявных

динамических вычислений. Этот прием связан с методом неявных схем в аналоговых вычислениях, примером которых может служить реализация делительного устройства с помощью умпожителя и усилителя с большим коэффициентом усиления. «Неявный синтез, таким образом, представляет собой особый способ использования вычислительных устройств. Он отличается от обычных вариантов их использования, когда известны дифференциальные уравнения вместе со всеми их параметрами и возбуждающими воздействиями и требуется найти решение уравнения, являющееся зависимой переменной, как функции независимой переменной. Напротив, при неявном синтезе известны решение и возмущения и необходимо определить один или несколько неизвестных параметров дифференциального уравнения».

В этих статьях ириво/ятся некоторые результаты цифровых вычислений для простых систем, а также иллюстрации, основанные на уравнениях типа уравнений скорости химической реакции. Дополнительную информацию о развитии этого подхода можно найти в работе [22], где рассмотрено применение этих методов для определения аэродинамических коэффициентов; см. также [23].