7.3. МАШИННЫЕ ПРОЦЕДУРЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Так как методы, рассмотренные в разд. 7.2, в практическом плане являются многообещающими, для иллюстрации их возможностей предлагается ряд примеров. Эти примеры заимствованы из работы [36].

Объект. Во всех случаях объект описывается дискретной передаточной функцией

и, следовательно,

Объект имеет простые полюсы в точках и нуль в точке Диаграмма нулей и полюсов

Фиг. 7.15.

Фиг. 7.16.

приведена на фиг. 7.15, а весовая функция — на фиг. 7.16. Во всех примерах входпой сигнал является белым шумом с равномерным распределением на интервале [-1, 1].

Если мощность белого шума на входе объекта то мощность выходного сигнала определяется выражением [17]

В работе [5] предлагается способ быстрого вычисления этого интеграла. Для рассматриваемого объекта отношение Результаты, которые приводятся в следующих частях раздела, усреднены по десяти итеративным циклам (1000 итераций в каждом цикле). Кроме того, приводятся средние значения стандартных отклонений по этим десяти циклам.

Замечания

1) Во всех таблицах, если не оговорено противное, сначала приводятся усредненные по 10 циклам значения оценок параметров. Затем даются усредненные значения стандартных отклонений.

2) Рассмотрим случайный процесс где случайная величина с нулевым математическим ожиданием. Оценка определяется формулой

Фиг. 7.17.

Доверительный интервал для оценки запишется как

где оценка дисперсии число степеней свободы. В рассматриваемом случае представляет собой оценку параметров в цикле. Так как циклов 10, то При построении доверительного интервала с доверительным уровнем Таким образом, получаем

3) Программы написаны на языке АДГОЛ-60.

Рекуррентный обобщенный метод наименьших квадратов. Используется алгоритм, задаваемый формулами (7.56) и (7.57). Разностные уравнения, описывающие объект и возмущения, имеют вид (фиг. 7,17, а и б)

дискретный белый шум, величина которого распределена между Этот белый шум «окрашивается» в соответствии с передаточной функцией, имеющей вид

с полюсами в точках В этом случае

Оцениваются пять параметров объекта и два параметра шума. После каждого оценивания вычисляются новые значения вектора и величины

После каждого оценивания вычисляются новые значения вектора и величины Экспериментальные результаты приводятся в указанных ниже таблицах.

(см. скан)

Таким образом, по экспериментальным данным можно судить о:

а) влиянии уровня помех, табл. 7.1-7.5;

б) влиянии выбора весовых коэффициентов, табл. 7.6- 7.11.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

С увеличением мощности шума:

1) стандартные отклонения растут линейно по К т. е. пропорционально корню квадратному из

2) стандартные отклонения остаются постоянными;

3) стандартные отклонения и остаются приблизительно постоянными (фиг. 7.18);

Фиг. 7.18.

С увеличением мощности шума — становится монотонно возрастающей функцией k. Кроме того, по-видимому, с увеличением мощности шума уменьшается скорость сходимости.

С уменьшением весовых коэффициентов:

1) значения оценок все больше приближаются к истинным значениям параметров, хотя дисперсии оценок растут;

2) разность монотонно уменьшается; стандартные отклонения снижаются, пока не станут равны 0,99, а затем снова растут;

3) значения улучшаются, хотя стандартные отклонения становятся несколько больше.

Эти эксперименты показывают, что при низком уровне шума могут быть выбраны большие значения весовых коэффициентов. В тех случаях, когда параметры постоянны, представляется разумным постепенно увеличивать весовые коэффициенты до единицы с тем, чтобы обеспечить более быструю сходимость и малые стандартные отклонения.

Расширенный матричный метод. Объект и алгоритмы описываются формулами При тех же параметрах находим

Теперь возмущения имеют вид

Уровень шума снова определяется параметром Фильтр помехи характеризуется «усилением по мощности»

Теперь можно исследовать, как влияет на оценивание параметров объекта использование неправильно заданного числа параметров и неправильного выбора параметров помехи. Во время эксперимента весовой коэффициент по экспоненте приближался к единице:

Результаты экспериментов приводятся в таблицах и на рисунках, указанных ниже.

(см. скан)

В табл. 7.12 и на фиг. 7.19 представлен случай, когда оцениваются только параметры объекта. Как и следовало ожидать, не обнаруживается заметного смещения оценок, так что значения оценок лежат в пределах одного стандартного отклонения от истинных значений параметров.

Таблица 7.12 (см. скан) Оцениваются только параметры объекта

Таблица 7.13 (см. скан) Оценивается один параметр шума; описание в «обратном» времени

(см. скан)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

В табл. 7.13-7.15 и на фиг. 7.20-7.22 представлепы случаи, когда помеха описана моделью авторегрессии (описание в «обратном» времени), т. е. помеха удовлетворяет уравнению вида

или

Механизм образования помехи можно приближенно описать как

Увеличение числа параметров приводит к более точному описанию объекта и помехи; сравнение с фиг. 7.19 обнаруживает уменьшение смещения оценок. Заметим, что истинные значения параметров отличаются от оценок меньше чем на одно стандартное отклонение.

В табл. 7.16-7.19 и на фиг. 7.23-7.26 представлены случаи, когда помеха описывается моделью скользящего среднего (описание в прямом времени), т. е. помеха удовлетворяет уравнению вида

или

Механизм образования помехи можно приближенно описать как

Опять увеличение числа параметров приводит к лучшему описанию помехи и объекта (см. фиг. 7.19); оказывается, что для получения сопоставимых результатов следует

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

оценивать больше параметров с, чем параметров объясняется тем, что с увеличением I значения коэффициентов уменьшаются быстрее, чем коэффициентов

В табл. 7.20-7.23 и на фиг. 7.27-7.30 представлен случай, когда модель задается одним параметром" с и одним параметром т. е. параметры модели выбраны правильно. В табл. 7.21 и на фиг. 7/28 отношение выбрано таким же, как и в предыдущих примерах; в этом случае получаются хорошие оценки. Далее представлены результаты экспериментов с различными отношениями сигнал/шум; на каждом шаге величина уменьшается в 4 раза; так, на фиг.

Изучение этих результатов показывает, что:

1) стандартные отклонения параметров растут как линейная функция т. е. пропорционально корню квадратному из

2) стандартные отклонения параметров а стремятся к константам;

3) стандартные отклонения не меняются.

В табл. представлены случаи, когда скорость изменения весового коэффициента меняется как функция k. Выбраны следующие значения , такие, что разность между единицей и значением весового коэффициента равна: половине аналогичной разности после следующего числа итераций: .

Таблица 7.20 (см. скан)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Таблица 7.27 (см. скан)

Из таблиц видно, что с увеличением стандартное отклонение убывает. В общем случае при увеличении оценки ухудшаются, тогда как стандартное отклонение стремится к нижней границе.

С целью более глубокого изучения свойств различных схем проделана большая теоретическая и экспериментальная работа. Особенно это относится к задаче выбора весовых коэффициентов. Исключительно важной остается задача правильного подбора числа параметров .