3.2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Функции достаточно общего вида можно описать разложением в ряд по системе ортогональных функций . В этом случае можно получить приближенное выражение

функции, ограничиваясь конечным числом членов разложения. Другое преимущество ортогональных разложений будет выявлено позже в связи с процедурами настройки.

Счетный набор ортогональных функций на интервале удовлетворяет условиям

Если символ Кропекера, для то такой набор функций называется ортонормальным. Набор ортонормальных функций называется полным, если не существует такой отличной от нуля функции что

Произвольную функцию времени можно разложить в ряд по полному набору ортонормальных функций:

где

Примером таких разложений являются ряды Фурье.

Континуальный набор ортонормальных фупкций определяется условием

В этом случае

где

Одним из таких представлений является преобразование Фурье.

Можно отметить следующие интересные свойства счетных наборов ортонормальных фупкций:

1) Использование критерия наименьших средних квадратов при аппроксимации сигнала суммой конечного числа ортонормальных функций приводит к коэффициентам, определяемым формулой (3.4). Рассмотрим набор ортонормальных функций. Пусть

Запишем необходимое условие минимума по

Отсюда вследствие ортонормальности

Сравнение формул (3.9) и (3.4) показывает, что

Отсюда следует, что обеспечивает наименьшую среднеквадратичную ошибку аппроксимации по сравнению с любой другой линейной комбинацией тех же функций.

2) Величина не зависит от числа членов разложения. Таким образом, увеличение числа членов разложения с до не меняет коэффициентов Это очень важное свойство.

3) Положив в формуле (3.8), получим

или

Устремляя получим неравенство Бесселя. Поэтому, если то при

4) Если при минимальная ошибка стремится к нулю, то

Это соотношение называется равенством Парсеваля.

Используя последовательность функций определенных на интервале с помощью известной процедуры Шмидта можно построить последовательность ортонормальных функций Первая функция определяется как

где

В результате функция оказывается нормированной, Если функция не зависит от то можно выбрать такой коэффициент а, что разность окажется ортогональной к

Отсюда следует, что

и

(см. скан)

Аналогично можно построить нормированную функцию ортогональную к функциям

Свойства ортогональности и ортонормальности можно обобщить введением весовой функции это дает возможность заданным образом изменить вклад в среднеквадратичную ошибку отдельных значений функций Аналогом формул (3.1) и (3.8) являются соотношения

В зависимости от выбора интервала и весовой функции можно получить различные наборы ортогональных функций, приведенные в табл. 3.1. Для более глубокого изучения теории ортогональных функций следует обратиться к работам [7, 15, 20]. В литературе можно найти примеры практических приложений (см., в частности, [1, 13, 14, 17, 18] и др.). Одна из решенных задач состоит в идентификации ковариационной функции как коэффициентов ортогонального разложения. Новые результаты приведены в [8, 12, 19].