8.2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КВАНТОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Квантование амплитуды

Как указывалось ранее, операция квантования аналоговых сигналов является нелинейной, т. е. если

то величины

не обязательно равны между собой при всех х и у. Следовательно, мы неизбежно столкнемся с проблемами, характерными для нелинейных систем и связанными с тем, что для этих систем неприменим принцип суперпозиции.

Исследование операции квантования и ее применения в корреляционном анализе можно найти в статьях [36, 38]. Следующие результаты заимствованы из работы [36].

Аналоговый входной сигнал х преобразуется квантователем (аналого-цифровым преобразователем) с постоянным шагом в квантованный сигнал Характеристики зависимости входа и выхода для этого квантователя могут быть, например, такими, как на фиг. 8.14, а. Такой квантователь можно образовать из единичных квантователей с характеристиками, показанными на фиг. 8.14, б, по схеме фиг. 8.15. Соответствующие соотношения имеют вид

единичный квантователь: при

(кликните для просмотра скана)

В работе [36] показано, что связь между плотностями распределения входа и выхода задается формулой

где дельта-функция Дирака и

При формула (8.52) сводится к

т. е. к «дискретизированной» в соответствии с областью значений свертке плотности распределения с функцией

Для дальнейшего анализа и облегчения выкладок имеет смысл применить преобразование Фурье, при котором операция свертки заменяется умножением; другими словами, вводится характеристическая функция

так что

Дифференцируя характеристическую функцию по , можно определить момент

представляющий коэффициент корреляции соответствующих сигналов. Таким образом можно определить

коэффициент корреляции для коррелятора-умножителя. Полученные результаты можно интерпретировать, рассматривая квантованный сигнал как суммы исходного сигпала с аддитивным шумом квантования:

Частные случаи этих соотношений описывают разные типы корреляторов, в том числе использующие экстремальное квантование (двоичные сигналы).

Типы корреляторов

Из предыдущего изложения ясно, что операцию квантования можно охарактеризовать следующими параметрами: а — сдвиг по оси х, с — сдвиг по оси величина шага по оси величина шага по оси Частные случаи:

В зависимости от типа квантования, применяемого в одном или обоих каналах коррелятора, различают (фиг. 8.16):

1) аналоговый коррелятор;

2) цифровой коррелятор;

Фиг. 8.16.

3) коррелятор совпадения знаков;

4) релейный (с круговой модуляцией) коррелятор;

5) коррелятор Стилтьеса.

Таблица 8.1 (см. скан)

Сравнение преимуществ и недостатков этих корреляторов проведено Уоттсом [36]. Здесь уместны следующие замечания.

1) Аналоговый коррелятор. Для этого типа коррелятора т. е. шум квантования отсутствует и

где, как и раньше,

Подробно этот случай рассмотрен в разд. 8.1.

2) Цифровой коррелятор. Сигналы в обоих каналах квантованы. Оказывается, что даже при сравнительно грубом квантовании существует приемлемое соответствие Между [осу]. Оценку погрешности можно получить из уравнения (8.58). Наихудший случай имеет место при измерении автокорреляционной функции. Тогда

Пример. Пусть распределение вероятностей на интервале около каждого уровня квантования равномерное. Тогда рассматриваемый второй момент равен

Он быстро убывает с уменьшением Если диапазон изменения амплитуды сигнала За) квантуется с постоянным шагом на 16 интервалов, то и

Значит, для цифровых корреляторов иногда достаточно длины слова в 3 или 4 бита. В работе [7] исследовано использование дополнительного случайного сигнала для устранения смещения выхода коррелятора этого типа, т. е. для достижения относительно высокой точности при малом числе уровней квантования (см. также разд. 8.3).

3) Коррелятор совпадения знаков. См. разд. 8.3.

4) Релейный коррелятор, или коррелятор с круговой модуляцией. В том случае умножение осуществляется очень просто, а именно как где при при эта операция реализуется механическими или электронными реле. Разумеется, при при этом теряется информация об амплитуде у. Для интерпретации результатов измерений нужно знать плотности вероятностей входных сигналов.

5) Коррелятор Стилтьеса. Этот метод предложил Уотте [36]. Само название объясняется тем, что в корреляционном интеграле для аналогового сигнала х и квантованного сигнала у легко узнать интеграл Стилтьеса. Этот коррелятор представляет интерес как для теории, так и с точки зрения его практической реализации. Несмотря на довольно грубое квантование, скажем 4 или 5 уровней, ошибка (ее ожидаемое значение) измеренной корреляционной функции оказывается достаточно малой. Фиг. 8.17 иллюстрирует способ реализации коррелятора на этом

Фиг. 8.17.

принципе. Этот принцип заслуживает внимания при вычислениях корреляционных функций на цифровых машинах.