4.6. МОДЕЛИ

В предыдущих разделах приведено несколько способов описания Характеристик объектов. Здесь будут кратко рассмотрены оспованные на этих способах математические модели, или моделирующие схемы. Рассмотрение ведется в общем виде, так как выбор конкретной модели существенно зависит от объекта и цели идентификации.

Линейность динамики и линейность по параметрам

В разд. 4.1 различие между линейными и нелинейными моделями было проведено на основе их динамических характеристик, т. е. связи между зависимыми (выходами) и независимыми (входами) функциями времени. Для задач оценивания параметров более существенно исходить при этом из связи между зависимыми переменными и параметрами. Модель называется линейной по параметрам, если ошибка (обобщенная) является линейной функцией параметров.

Как видно из следующих примеров, эти два определения линейности непосредственно не связаны. Пусть и — входной сигнал объекта, а у — его выходной сигнал. Тогда «модель» формирования ошибки выходного сигнала модели по сравнению с выходным сигналом объекта может иметь следующий вид:

(см. скан)

Использование таких двух подходов при различении линейных и нелинейных моделей может стать источником недоразумений, которые связаны со смешиванием понятий, относящихся к теории систем и регрессиопному анализу. Поэтому мы в дальнейшем под линейными системами будем понимать системы с линейными динамическими характеристиками.

Важность линейности по параметрам станет очевидной при рассмотрении задач оценивания. Рассмотрим типичный пример идентификации импульсной линейной системы, выходной сигнал которой искажен белым шумом измерений. Описание системы с помощью коэффициентов передаточной функции приводит к нелинейной регрессионной

модели, тогда как использование коэффициентов обобщенной модели или ординат весовой функции ведет к линейной по параметрам задаче оценивания. Имеет смысл попробовать пайти такое преобразование переменных, которое приводит к линейной по параметрам модели. Продемонстрируем это на простых примерах:

Нелинейные выражения, которые путем преобразования переменных могут быть сделаны линейными по параметрам, называются скрыто линейными. Если линеаризация невозможна, говорят о существенно нелинейной модели. Использование преобразований может оказаться полезным даже в случае существенно нелинейной системы [14].

Линейные модели «вход — выход»

Линейные модели, естественно, представляют собой наиболее разработанный раздел теории идентификации. Здесь будут рассматриваться линейные объекты в линейной среде, т. е. в среде, которую можно описать линейными стохастическими моделями. Во многих задачах теории управления свойства среды имеют такое же значение, как и динамика системы, поскольку сама постановка задачи управления в первую очередь связана с наличием помех.

В рамках классического подхода к описанию систем модель может задаваться передаточной или весовой функциями. Однако во многих случаях в настоящее время применяется модель состояний, т. е. параметрическая модель. Естественно, возникает ряд вопросов:

1) Пусть требуется оценить весовую функцию. Что лучше, идентифицировать ее непосредственно или построить параметрическую модель и по ней рассчитать весовую функцию?

2) Допустим, что необходима параметрическая модель. Следует ли непосредственно подгонять ее параметры или лучше сначала определить весовую функцию, а уже затем по этой весовой функции построить модель?

3) Поскольку в параметрическую модель явно входит порядок системы, что произойдет, если порядок выбран неправильно?

Общих ответов на эти вопросы пока еще нет. Некоторые частные случаи рассмотрены Густавссоном (1969 г.) в связи с задачами идентификации атомного реактора и динамики ректификационной колонны, а также на модельных примерах.

Для линейных объектов существуют хорошо известные аналоговые методы непосредственного моделирования обыкновенных дифференциальных уравнений, например уравнения вида

Этому уравнению соответствует передаточная функция

и блок-схема, приведенная на фиг. 4.15. Если в качестве переменных, описывающих состояние, выбраны то их величины могут быть измерены непосредственно на модели. Если же состояние системы описывается выходом у и его производными, то их можно представить как линейные комбинации х-переменных. Если Для то Заметим, что нелинейна по параметрам а

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 4.16.

Линейный (линеаризованный) объект, например, с передаточной функцией

можно представить в виде соединений более элементарных звеньев (фиг. 4.16):

1) последовательное соединение звеньев с простыми передаточными функциями, каждая из которых имеет один или два полюса и, быть может, нуль, совпадающие с полюсами и нулем передаточной функции системы

2) параллельное соединение звеньев с простыми передаточными функциями с весовыми коэффициентами

3) параллельное соединение звеньев с ортогональ ными передаточными функциями

Фиг. 4.17. (см. скан)

Фиг. 4.18. (см. скан)

например функциями Лагерра:

Этому случаю соответствует блок-схема, изображенная на фиг. 4.17.

Рассмотренный метод моделирования можно также применить для описания систем, в которых информация об имеющихся сигналах представлена их выборочными значениями. На фиг. 4.18 показан пример простой системы

первого порядка с передаточной функцией

Объект с передаточной функцией высокого порядка

можно представить, используя линии задержки, как на фиг. 4.15, и, кроме того, в виде разложения на элементарные звенья, как на фиг. 4.16. Легко учесть наличие чистого запаздывания:

Этот способ описания хорошо подходит для решения задач управления. Если на объект действует коррелированный аддитивный шум, то свойства шума также могут быть описаны с помощью линейной системы, на вход которой подается белый шум.

Весовая функция дает общее непараметрическое описание линейного объекта, так как вся необходимая априорная информация сводится к тому, что объект линеен. Легко учесть чистое запаздывание, которое можно реализовать несколькими способами. Однако модель должна позволять строить свертку Это приводит к следующим возможностям:

1) представлена фотоснимком, имеется в виде записи на фотопленке.

2) определяется набором коэффициентов ортогонального разложения (см. гл. 3):

где

Пригодность описания, задаваемого формулой (4.75), В большой степени зависит от того, насколько выбранная

Фиг. 4.19.

система ортогональных функций «подходит» к весовой функции. В благоприятном случае уже несколько отличных от нуля коэффициентов могут дать хорошую аппроксимацию, в противном случае может потребоваться достаточно много членов разложения. Было предложено [29, 61] выбирать функции зависящими от дополнительных параметров . При этом необходимо, усложнив процедуру оценивания, определить наилучшие значения параметров Были предприняты попытки распространить ортогональные модели на многомерные объекты [8].

3) задается набором своих значений Это сводится к синтезу с использованием линии задержки [23]. В соответствии с блок-схемой, изображенной на фиг. 4.19, интеграл свертки аппроксимируется выражением

Недостатком этого способа является необходимость определения достаточно большого числа параметров.

Весовую функцию можно аппроксимировать по-разному (фиг. 4.20):

как непрерывную функцию

Фиг. 4.20. (см. скан)

Линейность по параметрам дает возможность представить выборочные данные в виде

где

Отметим, что

причем не было сделано никаких специальных предположений относительно связи между Они могут представлять собой одинаковые последовательности, сдвинутые во времени относительно друг друга, а могут быть и выходными сигналами нелинейных импульсных

фильтров. В первом случае

Здесь предполагается, что и для

Кроме того, можно использовать другую формулу

где

Это дает возможность сразу записать выражение для ковариации у, а именно

Линейные модели состояний в канонической форме

В заключение наше внимание будет сконцентрировано на важнейшем типе моделей состояний определяемых уравнениями

где вектор размерности входной сигнал — вектор размерности и выходной сигнал у — вектор размерности Известно, что системы невырожденная

матрица, эквивалентны в том смысле, что они имеют одинаковое соотношение между входом и выходом. Легко проверить, что две системы эквивалентны в том же смысле, если

Связь между различными представлениями систем была выяснена в работе Калмана [33]. Весовая и передаточная функции описывают только часть системы которая является полностью управлямой. Отсюда понятно, что только полностью управляемая и полностью наблюдаемая часть модели состояний может быть определена по результатам измерений входного и выходного сигналов. По модели состояний легко можно получить весовую и передаточную функции. Задача определения модели состояний по весовой функции гораздо сложнее, даже если не обращать внимания на то, что по весовой функции можно определить только модель управляемой и наблюдаемой части системы. Задача о выборе модели состояний наименьшего порядка по заданной весовой функции была решена и Калманом [25] (см. также [34,11]). Решение опять оказалось не единственным. Модель включает

параметров. То, что соотношение между входом и выходом инвариантно относительно линейных преобразований координат, означает, что но измерениям входных и выходных сигналов нельзя оценить все параметров. Таким образом, для получения единственного решения, а также для построения эффективных алгоритмов важно найти описание системы, содержащее минимальное число параметров, т. е. каноническое представление.

Канонические представления линейных детерминированных моделей. Каноническая запись линейных систем рассматривалась Калманом [33]. В том случае, когда все собственные значения матрицы А различны, каноническая форма записи получается следующим образом. Соответствующим выбором координат матрица А

преобразуется к диагональному виду

Это представление содержит параметров, из которых являются избыточными, так как все координаты в пространстве состояний могут быть нормированы без изменения уравнений состояний. Таким образом, уравнение состояний может быть охарактеризовано

параметрами. Так как система полностью управляема и наблюдаема, в каждой строке матрицы каждом столбце матрицы С имеется по меньшей мере один ненулевой элемент. Таким образом, избыточность в (4.84) можно уменьшить, наложив дополнительные условия

или. аналогичные условия на матрицу С. Если матрица А имеет кратные собственные значения, то задача отыскания параметрического описания с минимальным числом параметров усложняется. Если А, кроме того, еще и является циклической (т. е. существует такой вектор х, что векторы образуют базис в -мерном пространстве), то параметрическое описание с минимальным

числом параметров задается уравнениями

где на элементы матриц наложены дополнительных условий типа (4.86) или (4.87). В случае объекта с одним выходом эти дополнительные условия вводятся заданием всех компонент вектора С, например Каноническое представление тогда принимает вид

где через обозначены преобразования Лапласа Таким образом, каноническое представление объекта порядка с входами и одним выходом может быть записано в виде

Аналогичный вид имеет представление для систем с несколькими выходами:

Эта форма записи уравнений состояний наряду с другими использована в работах [50, 62]. Определение порядка объекта (4.91), в общем случае отличного от и преобразование (4.91) для уравнения состояний проделано в работе [55]. Канонические представления линейных многомерных систем рассматривались также в работах [12, 39]. Аналогичные результаты справедливы и для импульсных систем.

В том случае, когда матрица А имеет кратные собственные значения и не циклическая, не ясно, что означает «минимально параметрическое представление». Конечно, матрица А всегда может быть преобразована к жордановой форме [20]. Так как среди собственных значений матрицы А есть совпадающие, то, строго говоря, матрица А может быть описана менее чем параметрами. Единицы над диагональю в жордановой форме могут быть записаны многими способами в зависимости от способа объединения, что ведет к различным структурам.

Канонические представления линейных стохастических моделей. Рассмотрим капонические представления стохастических систем. Для того чтобы избежать трудностей, связанных с непрерывным белым шумом, приведем результаты для импульсных систем. Однако аналогичные результаты справедливы и для непрерывных систем. Рассмотрим систему

где к принимает целочисленные значения. Вектор состояний х, входной сигнал и выходной сигнал у имеют размерности соответственно; представляют собой последовательности независимых случайных векторов с пулевыми средними и ковариациями В силу симметрии ковариационных матриц модель (4.92) содержит

параметров. Говорят, что две модели типа (4.92) эквивалентны, если: 1) уравнения состояний совпадают при и 2) стохастические свойства выходных сигналов одинаковы при Число параметров в может быть сокращено, как было описано выше. Остается уменьшить число параметров, описывающих помехи. Это достигается использованием теоремы фильтрации Калмана. Из этой теоремы вытекает, что объект с одним выходом может быть описан формулами

где означает условное среднее при заданных последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с пулевым средним и ковариацией

Модель с одним выходом рассмотрена в работе [3]. В работе [31] представление (4.94) названо обновленным представлением объекта. Подробное обсуждение можно найти у Острема [5]. Модель (4.94) использована также в [44].

Отметим, что, если модель (4.94) известна, задачи устойчивой фильтрации и оценивания решаются очень легко. Поскольку К — усиление фильтра, нет необходимости решать уравнение Риккати. Отметим также, что физически состояние модели (4.94) интерпретируется как условпое математическое ожидание состояния модели (4.92). Если матрица А представлена в диагональной форме, а на матрицы наложены условия типа (4.86), то модель (4.94) является каноническим представлением, которое содержит параметров:

Для систем с одним выходом, когда уравнение (4.94) преобразуется к виду

Вводя оператор сдвига определяемый формулой

полиномиальные операторы

и соответствующие обратные полиномы

можно переписать уравнение (4.96) в виде

или

Такая каноническая форма записи системы -го порядка была введена в работе [4] и с тех пор пгироко используется. Соответствующая запись для многомерного случая получается, если интерпретировать как векторы, а и С — как полиномы с матричными коэффициентами. Такие модели рассмотрены в работах [15, 35, 50, 56]. Как альтернатива модели (4.96) в работах [9, 53] использована каноническая форма вида

В каждом конкретном случае выбор структуры модели может заметно влиять на объем работы, связанной с решением задачи. Это подтверждается следующим примером. I

Пример. Предположим, что конечной целью идентификации является получение прогноза с использованием калмановской фильтрации. Объект описывается уравнениями

где дискретные белые шумы с ковариациями Тогда функция правдоподобия для задачи оценивания может быть записана в виде

Здесь уравнения объекта рассматриваются как ограничения. Оцепивание градиентов функции потерь приводит к двухточечной краевой задаче. К тому же в процессе идентификации для решения задачи калмановской фильтрации требуется решить уравнение Риккати. Допустим теперь, что структура идентифицируемого объекта имеет вид

Тогда функция правдоподобия принимает вид

В этом случае оценивание градиентов функции потерь сводится к простой задаче с начальным условием. После завершения идентификации устойчивый фильтр Калмана описывается уравнением

Таким образом, если известно, что модель имеет структуру (4.103), то для построения устойчивого фильтра Калмана не нужно решать уравнение Риккати.

Выбор конкретного (канонического) способа описания определяется рядом соображений, и в том число собственными значениями, коэффициентами дифференциальных уравнений, некоторыми критическими параметрами, минимальным числом параметров и т. д. В обзорном докладе на III конгрессе ИФАК Ван-дер-Гринтен привел примеры моделей промышленных объектов. Вот выдержка из этого доклада, принадлежащая Квакернааку: «Для того чтобы показать, что понятие состояния можно успешно использовать в моделях самой разной сложности, приведем несколько случайно отобранных примеров из различных областей применения:

1) Состояние электрических цепей может быть описано емкостными напряжениями и индуктивными токами.

2) Механические системы могут быть охарактеризованы моделями, в которых состояние определяется скоростью и пространственными координатами.

3) Переменными состояний термодинамических систем являются термодинамические функции.

4) В простейшей модели управления посадкой самолета используются угол тангажа, скорость изменения угла тангажа, высота и скорость подъема.

5) Переменными состояний многоагрегатной энергетической системы являются магнитные потоки, фазы и скорость вращения.

6) Известны примеры использования понятия состояния в технике. В классе моделей с сосредоточенными параметрами пароперегреватель описывается заданием теплосодержания выходной струи пара и температурой стенок трубы.

7) Переменными состояний ректификационной колонны являются состав жидкости и теплосодержание насыщенной жидкости на каждой тарелке. Для проверки можно использовать численные методы.

Понятие состояния находит применение и в других областях при построении динамических моделей.

1) Моделирование транспортных потоков на «микроуровне» заданием положений и скоростей отдельных автомашин.

2) В динамических моделях производственных процессов также используется понятие состояния. В модели

распределения по Форрестеру в качестве переменных состояния (называемых уровнями) выбраны запасы, число служащих, невыполненные заказы, размеры капиталовложений, банковские балансы, заказы в пути, товары в процессе доставки и потребность в рабочей силе.

Из этого следует, что понятие состояния с успехом может быть использовано для описания систем самой разной природы. Оно оказывает большую помощь при анализе поведения системы и построении ее модели. Для осуществления технического аспекта моделирования могут быть использованы цифровые вычислительные машины.»

Нелинейные модели

Для широкого класса нелинейных объектов достаточно общее пепараметрическое описание дастся рядами Вольтерра, использующими весовые функции высших порядков. Аппроксимация этих функций в конечном числе точек приводит к линейной по параметрам модели [1, 17, 51]. В большинстве практических ситуаций необходимое число параметров слишко велико. Допустим, что весовая функция первого порядка аппроксимируется своими значениями в 10 точках. Так как функция симметрична, для ее описания потребуется 55 параметров, для описания параметров и т. д., если весовые функции высших порядков должны иметь одну и ту же «разрешающую способность». Очевидно, что размерность задачи оценивания параметров становится чрезмерной. Более того, физическая интерпретация этих параметров, по-видимому, будет затруднительна. Таким образом, при исследовании нелинейных объектов еще более, чем в случае линейных объектов, для которых применимы непараметрические модели, ощущается необходимость в подборе параметрических моделей. Большое значение имеет использование априорной информации о физической природе объекта. Хотя в работах [26—28] предложен способ построения параметрической модели без использования априорной информации об объекте под названием «эвристическая самоорганизация» или «метод группового учета аргументов (МГУА)».

Фиг. 4.21.

На фиг. 4.21 изображен неизвестный объект, который характеризуется функциональным; соотношением между выходной переменной у и набором входных переменных

Не используя никакой априорной информации, необходимо построить такую модель, чтобы было хорошей аппроксимацией у. Это можно было бы сделать с помощью полиномов Колмогорова — Габора (4.29). Здесь возникают следующие проблемы:

1) проблема размерности, вызываемая необходимостью оценивать большое число коэффициентов;

2) для оценивания необходимо располагать большим числом значений входного и выходного сигналов.

Метод Ивахненко состоит в выборе иерархии частных моделей вместо одной обхцей модели. На фиг. 4.22 изображено несколько «столбцов» частных моделей. Калсдая частная модель из первого столбца имеет несколько входов и только один выход Параметры частных моделей подбираются так, чтобы как можно точнее аппроксимировало у.

У каждой частной модели из второго столбца имеется несколько входов и один выход Параметры этих

Фиг. 4.22

частных моделей подбираются так, чтобы каждое по возможности лучше приближало у и т. д. Таким образом представляет собой алгоритм построения модели из набора идентичных частных моделей, объединенных в иерархическую структуру. Последовательно образуя новые переменные, стараются в конце концов получить являющееся хорошей аппроксимацией у. Новые переменные образуются как комбинации переменных предыдущего столбца (уровня). На каждом уровне для последующих преобразований отбираются только лучшие из переменных.

Осталось обсудить только два вопроса:

1) выбор типа частных моделей;

2) способ отбора переменных для последующих преобразований.

Частная модель может быть простой, скажем, с двумя входами :

1) , линейная комбинация с тремя параметрами;

2) квадратичный многочлен с шестью параметрами;

3) четыре параметра;

4) , для бинарных неременных, четыре параметра и т. д.

Частные модели первого типа не увеличивают порядок модели; в этом случае высшие степени и перекрестные члены входных сигналов объекта должны рассматриваться как входные сигналы частных моделей. Отбор переменных на каждом уровне необходим из-за многообразия комбинаций на множестве всего Лучшие переменные для последующих преобразований отбираются на основе: 1) близости к у в смысле наименьших квадратов и 2) несходства группируемых переменных. Первый критерий очевиден и целенаправлен. Второй критерий связан с тем, что отсекаемые по методу наименьших квадратов переменные могут содержать существенную информацию. Это может выясниться при объединении с другими перемепными, на более высоком уровне.

Пока еще не существует общих правил отбора промежуточных переменных на следующий уровень. Поскольку каждая частная модель содержит небольшое число

параметров, для их оценки требуется относительно небольшой объем данных, Для нелинейных объектов с памятью входные переменные модели включают также входные сигналы объекта, сдвинутые по времени. В своих работах Ивахненко приводит несколько примеров приложений с хорошим соответствием между моделью и объектом.

Несмотря на довольно большой объем этой главы, здесь рассмотрены лишь некоторые вопросы математического описания систем. В литературе, указанной в конце гл. 14, можно найти примеры построения моделей в конкретных прилоясениях.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)